1、综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于()A.-1-2iB.-2+iC.-1+2iD.1+2i解析:由题意可得=-1+2i,故选C.答案:C2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是()A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立解析:P(A)=1-P()=1-,P(A)P(B)=P(AB),故事件A与B相互独立,选项C正确;P(AB)=,AB,故选项A,B,D错误
2、.答案:C3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本量和抽取的高中生近视人数分别为()图图A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10解析:该地区中小学生总人数为3 500+4 500+2 000=10 000,则样本量为10 0002%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 0002%50%=20.答案:A4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的表面积为()A.3B.(5+3)C.D.解析:由题意知,圆台的母线长为,即圆台的表面积为(1
3、2+22+1+2)=(5+3).故选B.答案:B5.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影向量为()A.aB.-aC.aD.-2a解析:由题意知,a(a+2b)=0,即a2+2ab=0,则4+4|b|cos =0(为a,b的夹角),即|b|cos =-1,故向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos =-a.答案:B6.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列说法正确的是()A.若,=n,mn,则mB.若m,n,mn,则C.若m,n,mn,则D.若n,n,m,则m解析:选项A错误,如果在已知条件中加上m,那么该说法就是正确的,也就是面面
4、垂直的性质定理.选项B错误,如果两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n,n可得,因为m,所以m.答案:D7.在ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知c=2,C=,ABC的面积SABC=,则ABC的周长为()A.6B.5C.4D.4+2解析:由SABC=,得absin C=.C=,ab=4.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,c=2,则a2+b2=8,a+b=4,a+b+c=6.答案:A8.设集合M=2,3,4,N=1,2,3,4,
5、分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3k8,kN*),若事件Ak的概率最大,则k的取值是()A.4B.4或5C.5或6D.7或8解析:由题意,样本空间=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含(2,1)共1个样本点,即P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含(2,2),(3,1)共2个样本点,即P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y
6、=5上,包含(2,3),(3,2),(4,1)共3个样本点,即P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含(2,4),(3,3),(4,2)共3个样本点,即P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含(3,4),(4,3)共2个样本点,即P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含(4,4)共1个样本点,即P(A8)=.综上可得,当k=5或k=6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.答案:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得
7、2分.9.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b,以a,b为基底,有()A.(a+b)B.(a+b)C.(2a-b)D.(2a-b)解析:如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).故A,B正确,C,D错误.答案:AB10.设z1,z2是复数,则下列说法正确的是()A.若|z1-z2|=0,则B.若z1=,则=z2C.若|z1|=|z2|,则z1=z2D.若|z1|=|z2|,则解析:A中,|z1-z2|=0z1-z2=0z1=z2,故A正确;B中,设z2=a+bi(a,
8、bR),则z1=a-bi,=a+bi,即=z2,故B正确;C中,|z1|=|z2|z1|2=|z2|2z1=z2,故C正确;D中,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,故D不正确.答案:ABC11.据统计,某名同学在考试中语文和数学成绩达到优秀等级(120分以上)的概率分别为0.6和0.8,假设两科考试成绩相互独立,则()A.这名同学在考试中语文和数学都达到优秀的概率是0.48B.这名同学在考试中语文和数学恰有一科优秀的概率是0.44C.这名同学在考试中语文和数学都没有达到优秀的概率是0.52D.这名同学在考试中语文和数学至少有一科优秀的概率是0.92解析:设事
9、件E=“这名同学在考试中语文达到优秀”,事件F=“这名同学在考试中数学达到优秀”,事件E,F的对立事件分别为.则P(E)=0.6,P(F)=0.8,P()=1-0.6=0.4,P()=1-0.8=0.2.A中所求概率为P(E)P(F)=0.60.8=0.48,故A正确;B中所求概率为P(E)P()+P()P(F)=0.60.2+0.40.8=0.44,故B正确;C中所求概率为P()P()=0.40.2=0.08,故C不正确;D中所求概率为1-P()P()=1-0.08=0.92,故D正确.答案:ABD12.在三棱锥C-ABD中(如图),ABD与CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,
10、AB=4,二面角A-BD-C的大小为60,下面结论中正确的是()A.ACBDB.ADCOC.cosADC=D.三棱锥C-ABD的外接球表面积为32解析:对于A,AB=AD,BC=CD,O为BD的中点,BDOA,BDOC,OAOC=O,BD平面AOC,BDAC,故A正确;对于B,若ADOC,由OCBD,可得OC平面ABD,则可得OCOA,由A可得AOC是二面角A-BD-C的平面角且AOC=60,矛盾,故B错误;对于C,由A可得AOC为等边三角形,即AC=OA=2,AD=CD=4,则cosADC=,故C错误;对于D,OA=OB=OC=OD=2,三棱锥C-ABD的外接球的球心为O,半径为2,表面积S
11、=4(2)2=32,故D正确.故选AD.答案:AD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某工厂生产某种产品5 000件,它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线.为检查这批产品的质量,决定采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为122,则乙生产线生产了件产品.解析:根据分层随机抽样的性质,可知乙生产线生产的产品数为5 000=2 000(件).答案:2 00014.设e1,e2是两个不共线的向量,a=3e1+4e2,b=e1-2e2.若以a,b为基底表示向量e1+2e2,即e1+2e2=a+b,则+=.解析:由a=3e1+4e2,b=
12、e1-2e2,得e1=a+b,e2=a-b,则e1+2e2=a-b,即+=.答案:15.如图,已知三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为2的等边三角形,SA平面ABC,SA=3,D为BC的中点,则SD=,SD与平面ABC所成角的正切值为.解析:如图,连接AD.ABC为等边三角形,D为BC的中点,AD=2,又SA平面ABC,SAAD,SDA为SD与平面ABC所成的角,SD=2,tanSDA=.答案:216.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为.解析:由正弦定理及(b-c)(sin B+sin C)=(a-
13、c)sin A,得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,则a2+c2-b2=ac.由余弦定理的推论,得cos B=,因为0B,所以B=.答案:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)某中学为了解该校高一年级学生的数学成绩,从高一年级期中考试成绩中抽出100名学生的成绩,由成绩得到如下的频率分布直方图.根据以上频率分布直方图,回答下列问题:(1)求这100名学生成绩的及格率(大于等于60分为及格);(2)估计这100名学生的平均成绩和第80百分位数(精确到0.1).解:(1)因为不及格率为0.00410+0.00610=
14、0.1,故及格率为1-0.1=0.9.(2)估计这100名学生的平均成绩为45(0.00410)+55(0.00610)+65(0.0210)+75(0.0310)+85(0.02410)+95(0.01610)=76.2.因为0.00410+0.00610+0.0210+0.0310=0.6,0.6+0.02410=0.84,所以第80百分位数应位于第5个小矩形内,估计第80百分位数是80+10=88.3.18.(12分)已知向量=(1,-2),=(4,-1),=(m,m+1).(1)若 ,求实数m的值;(2)若ABC为直角三角形,求实数m的值.解:(1)因为向量=(1,-2),=(4,-1
15、),所以=(3,1).因为,且=(m,m+1),所以3(m+1)-m=0,所以m=-.(2)由(1)知=(3,1),=(m-1,m+3),=(m-4,m+2).因为ABC为直角三角形,所以.当时,有3(m-1)+m+3=0,解得m=0;当时,有3(m-4)+m+2=0,解得m=;当时,有(m-1)(m-4)+(m+3)(m+2)=0,无解.故实数m的值为0或.19.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解:=cbcos A=3ccos A=-6,ccos A=-2.SABC=bcsin A=csin A=3,csin A=2,ta
16、n A=-1.又0A,A=,c=2.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=9+8-232=29,即a=.20.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,且BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,如图.因为E,F分别是
17、A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=SABCAA1=12=.21.(12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有
18、3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,若从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被选取的可能性相同),写出试验的样本空间,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.解:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=0.15.因为等级系数为5的恰有2件,所以c=0.1,从而a=0.35-b-c=0.1,即a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)从日用品x1
19、,x2,x3,y1,y2中任取2件,试验的样本空间=(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共有10个样本点.设事件A=“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级系数相等”,则A=(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共有4个样本点.故所求的概率P(A)=0.4.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD=2.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)在线段PB上确定一点M,使PC平面ADM,并给出证明.解:(1)PD平面ABCD,VP-ABCD=S正方形ABCDPD=222=.(2)当M为线段PB的中点时,PC平面ADM.证明如下:取PB的中点M,PC的中点E,连接DE,EM,AM,EMBCAD,A,D,E,M四点共面.由PD平面ABCD,得ADPD,又ADCD,PDCD=D,AD平面PDC,ADPC,又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,DEPC.又ADDE=D,PC平面ADEM,即PC平面ADM.
