1、阶段测试卷第八章 平面解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. “直线l的方程为xy0”是“直线l平分圆x2y21的周长”的(A)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 若直线l的方程为xy0，则直线l一定平分圆x2y21的周长；但要平分圆x2y21的周长，只需要经过圆心(原点)任意作一条直线即可，即“直线l的方程为xy0”是“直线l平分圆x2y21的周长”的充分不必要条件故选A. 2. 在抛物线y2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(B)A. (2，1)
2、B. (1，2) C. (2，1) D. (1，2) 设直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号. P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A，C，D.故选B.3. (2013朝阳练习)若直线yxm与圆x2y24x20有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是(D)A. (2，2) B. (4，0) C. (2，2) D. (0，4) 圆的标准方程为(x2)2y22，圆心为(2，0)，半径为.由题意知，即|m2|2，解得0m4即可根据抛物线的定义，知|FM|y02，由
3、y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)5. 已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|F1F2|，则等于(C)A. 24 B. 48 C. 50 D. 56 由已知得|PF2|F1F2|6，根据双曲线的定义可得|PF1|10，在F1PF2中，根据余弦定理可得cosF1PF2，1210650.6. 记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是(D)A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 直线 设圆心为C，半径为r，当点A，P在圆C外时，可得|PA|PC|r，即|P
4、C|PA|r，轨迹可以是双曲线的一支；当点A在圆C内且A不是圆心，点P也在圆内时，可得r|PC|PA|，即|PA|PC|r，轨迹可以是椭圆；当点A是圆心时，|PA|r，轨迹可以是圆7. 已知椭圆的方程为x21(0a1)，椭圆上离顶点A(0，a)最远点为(0，a)，则a的取值范围是(B)A. (0，1) B. C. D. 任取椭圆上一点P(x，y)，则有|PA|2y22aya21，由题设知，当ya时，|PA|有最大值，则对称轴y满足a，解得a0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为(A)A. (x1)2(y4)21 B. (x1)2(y4)21 C
5、. (x1)2(y4)216 D. (x1)2(y4)216 抛物线的焦点为F，准线方程为x，|MF|15，解得p8，即抛物线为y216x，又m216，m4，即M(1，4)，所求圆的半径为1，圆的方程为(x1)2(y4)21.故选A. 9. (2013全国高考)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)A. yx B. yx C. yx D. yx e，故，即，故渐近线方程为yxx .10. (2013石家庄模拟)已知双曲线的一个焦点与抛物线x220y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x4y0，则该双曲线的标准方程为(C)A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 抛物线x2
6、20y的焦点为(0，5)，c5且双曲线的焦点在y轴上，渐近线方程为3x4y0，a3，b4，双曲线的标准方程为1，故选C.11. (2013浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点. 若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(D)A. B. C. D. 设双曲线1，由|AF1|AF2|4，|AF2|AF1|2a，|AF1|2|AF2|24c212，(2a)2(2a)212，a，e.故选D.12. (2013山东高考)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的
7、切线平行于C2的一条渐近线，则p(D)A. B. C. D. 由题设知抛物线的焦点F，双曲线的焦点F2(2，0)，直线FF2为yx.由得x2xp2，即1，双曲线C2的渐近线方程为yx，又由yx得，解得1，x，故p.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013乌鲁木齐模拟)设F1，F2 分别是椭圆E：x21(0b0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_6_ 抛物线的焦点坐标F，准线方程为y.代入1得|x|.要使ABF为等边三角形，则tan，解得p236，p6.三、 解答题(共70分)17. (10分)如图，抛物线顶点在原点，圆x2y24x0的圆心恰
8、是抛物线的焦点(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线的焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|CD|的值 (1)圆的方程化为(x2)2y222，圆心坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为F(2，0)，p4，抛物线方程为y28x.(4分)(2)由题意知直线AD的方程为y2(x2)，即y2x4，代入y28x得x26x40，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x26. (7分)|AD|x1x2p6410，又圆直径|BC|4，|AB|CD|AD|BC|1046. (10分)18. (10分)(2013湖北八校联考)已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的
9、中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x014y221(1)求C1，C2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 (1)设C1，C2的标准方程分别为1(ab0)，x22py.将和(4，1)代入抛物线方程中得到的解相同，2p16，(3分)点(0，2)和(，2)在椭圆上，代入椭圆方程得a2，b2，故C1，C2的标准方程分别为1，x216y. (5分)(2)设直线l的方程为xmyn，将其代入1中，消去x并
10、化简整理得，(12m2)y24mny2n280.直线l与C1相切，16m2n24(12m2)(2n28)0，n24(12m2), (7分)设切点P(x0，y0)，则y0，x0my0n.又直线l与C2的准线y4的交点为Q(n4m，4)，以PQ为直径的圆的方程为(xn4m)(y4)0. (9分)化简并整理得x2x(4mn)x(y2)(y2)20恒成立，故x0，y2，即存在定点M(0，2)符合题意. (10分)19. (12分)已知圆C经过点A(2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线yx上，又直线l：ykx1与圆C相交于P，Q两点(1)求圆C的方程；(2)若2，求实数k的值；(3)过点(0，1)作直
11、线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值. (1)设圆心C(a，a)，半径为r.圆C经过点A(2，0)，B(0，2)，|AC|BC|r，易得a0，r2，圆C的方程是x2y24.(4分)(2)22cos2，且与的夹角为POQ，cosPOQ，即POQ120，根据解三角形的相关知识可得，圆心C到直线l：kxy10的距离为r.即圆心C到直线l：kxy10的距离d1，又d，解得k0. (8分)(3)设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S. 直线l，l1都经过点(0，1)，且ll1，根据勾股定理，有dd21. 又易知|PQ|2，|MN|2，
12、(10分)S|PQ|MN|2222227，当且仅当d1d时等号成立，四边形PMQN面积的最大值为7. (12分)20. (12分)(2013全国高考)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，由此可得1.(3分)x1x22x0，y1y22y0，因此a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23. a26，b23.M的方程为1. (6分
13、)(2)由解得或因此|AB|. (8分)由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4). 由得3x24nx2n260.于是x3，4. (10分)直线CD的斜率为1，|CD|x4x3|.由已知得四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为(此时直线CD与圆有两个交点)四边形ACBD面积的最大值为. (12分)21. (12分)如图，已知直线l：ykx2与抛物线C：x22py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，(4，12). (1)求直线l的方程和抛物线C的方程；(2)若抛物线上一动点P从A到B运动时，求ABP面积的最大值. (1)由得x22pk
14、x4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.(3分)(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，解得故直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x22y. (6分)(2)解法一：由得x24x40，|AB|4. (9分)设P(22t22)，|AB|为定值，当点P到直线l的距离d最大时，ABP的面积最大，而d，又22t22，当t2时，dmax.当P点坐标为(2，2)时，ABP面积的最大值为8.(12分)解法二：设P(x0，y0)，依题意，抛物线在点P处的切线与l平行时，ABP的面积最大yx，x02，y0x2，P(2，2)此时点P
15、到直线l的距离为. (9分)由得x24x40，|AB|4，故ABP面积的最大值为8. (12分)22. (14分)(2013重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQPQ，求圆Q的标准方程(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(6分)(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)(8分)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又x1(4，4)，上式当x2x0时取最小，从而x12x0，且|QP|28x.PQPQ，且P(x1，y1)，(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y0.由椭圆方程及x12x0得x80.解得x1，x0.从而|QP|28x.故这样的圆有两个，其标准方程分别为y2，y2.(14分)
