1、4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较*5信息技术支持的函数研究课后训练巩固提升1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是()A.mnpB.mpnC.pmnD.pnm解析:0m1,p0,pmn.答案:C2.下面关于函数f(x)=log12x,g(x)=12x与h(x)=x-12在区间(0,+)上的递减情况说法正确的是()A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速
2、度越来越慢D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快解析:观察函数f(x)=log12x,g(x)=12x与h(x)=x-12在区间(0,+)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度变慢;在区间(1,+)上,递减较慢,且越来越慢.答案:C3.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2xy2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y
3、2y3y1解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2y1y3.答案:B4.有一组实验数据如下表所示:x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()A.y=2x+1-1B.y=x2-1C.y=2log2xD.y=x3解析:根据实验数据第一组(2.01,3),选项A,C,D显然不满足,故本题正确答案为B.答案:B5.设x(0,1),函数y=xp(pR)的图象在直线y=x的上方,则实数p的取值范围是()A.p0B.0p1C.p1解
4、析:x(0,1)时,函数y=xp(pR)的图象在直线y=x的上方,xpx,且x(0,1),p22%B.x22%C.x=22%D.x的大小由第一年的产量确定解析:设第一年的产量为a,则第三年的产量为(1+44%)a=1.44a,所以a(1+x)2=1.44a,所以(1+x)2=1.44,得x=0.2(负值舍去),即x22%.答案:B7.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,如图请选择与容器相匹配的图象,A对应,B对应,C对应,D对应.解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快慢快,应与(1)对应;C
5、,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4)(1)(3)(2)8.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因.根据中华人民共和国道路交通安全法规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精的含量以每时50%的速度减少,则至少经过他才可以驾驶机动车.(精确到1 h)解析:设nh后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n0.2,即2n15,nlog215,故至少经过4h他才可以驾驶机动车.答
6、案:4 h9.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5 m3污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案进行污水处理,并准备实施.方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1 m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;方案2:工厂污水排到污水厂统一处理,每处理1 m3需付14元的排污费.(1)若工厂每月生产3 000件产品,在既不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪种处理污水的方案,请通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6 000件产品,又该如何决策呢?解:设工厂每月生产x件产品,依方案1的利润为y1,依方案
7、2的利润为y2,则y1=(50-25)x-20.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-140.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000.因为y1y2,故应选择方案1处理污水.10.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x12的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x12,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当xh(x)g(x)
8、;当1xg(x)h(x);当exf(x)h(x);当axh(x)f(x);当bxg(x)f(x);当cxf(x)g(x);当xd时,f(x)h(x)g(x).11.某种高档奢侈品定价为60万元/件,不加收消费税时,每月大约销售80件.若政府征收消费税,每销售100万元要征收消费税p万元,此时每月销售量减少203p件.(1)将政府每月对该商品征收的总税金y万元表示为p的函数,并求出这个函数的定义域.(2)若政府在此项经营中每月收取的税金不少于128万元,问税率p%应该怎样确定.(3)在政府每月可征收的税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,应如何确定p的值?解:(1)由题意知,商品每月销售量为80-203p件时,y=6080-203pp%.因为80-203p0,p0,所以0p12.所以该函数的定义域为(0,12).(2)令y128,即6080-203pp%128,解得4p8.因此4%p%8%.(3)由(2),知政府每月征收的税金不少于128万元时,4p8.又厂家的销售金额为6080-203p=-400p+4800.故当p=4时,销售金额最大,为3200万元.
