1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是()A.B.C.D.解析:函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2x-.令f(x)0,解得0x.故函数f(x)的单调递减区间为.答案:A2.函数f(x)=3x-4x3(x0,1)的最大值是()A.1B.C.0D.-1解析:f(x)=3-12x2.令f(x)=0,解得x=-(舍去)或x=.f(0)=0,f(1)=-1,f=1,函数f(x)在区间0,1上的最大值为1.答案:A3.已知函数f(x)=x3
2、+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5解析:f(x)=3x2+2ax+3.由题意知f(-3)=0,即3(-3)2+2a(-3)+3=0,解得a=5.答案:D4.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(2),f(lo2),f(log23)的大小关系是()A.f(lo2)f(log23)f(2)B.f(lo2)f(2)f(log23)C.f(log23)f(lo2)f(2)D.f(2)f(log23)0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增.因为|lo2|=|log32|1log2322,所以ff(log23)f(2).故选A.答案:
3、A5.已知函数f(x)的导函数f(x)=a(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是()解析:由导函数的图象,可知f(0)=0,当x0时,f(x)0,则函数f(x)在区间(-,0)上单调递减,排除A,B;当0x0,则函数f(x)在区间(0,x1)上单调递增.因此当x=0时,f(x)取得极小值.故选D.答案:D6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P(单位:元),销售量为Q(单位:件),且销售量Q与零售价P满足关系式:Q=8 300-170P-P2,则销售该批商品的最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元B.60元C.28 000元D.2
4、3 000元解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000,则L(P)=-3P2-300P+11 700.令L(P)=0,解得P=30或-130(舍),此时L(30)=23 000.因为在P=30的左侧L(P)0,右侧L(P)0,所以L(30)是极大值也是最大值,即当零售价定为每件30元时,有最大毛利润23 000元.答案:D7.若函数f(x)=,且0x1x2bB.abC.a=bD.a,b的大小不能确定解析:f(x)=.设g(x)=xcos x-sin x,则g(x)=-x
5、sin x+cos x-cos x=-xsin x.当0x1时,g(x)0,函数g(x)在区间(0,1)内是减函数.g(x)g(0)=0.f(x)b.故选A.答案:A8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(x+5)为偶函数,f(10)=1,则不等式f(x)ex的解集为()A.(0,+)B.(1,+)C.(5,+)D.(10,+)解析:设g(x)=,则g(x)=.f(x)f(x),g(x)0.g(x)在R上单调递减.函数f(x+5)是偶函数,函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称.函数f(x)的图象关于直线x=5对称.f(0)=f(10)=1.原不等式等价
6、为g(x)1.g(0)=1,且g(x)在R上单调递减,g(x)1,即g(x)0.不等式f(x)ex的解集为(0,+).故选A.答案:A二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列命题中正确的是()A.命题“xR,使得x2-2x+10”的否定是真命题B.x1,且y1是“x+y2”的充要条件C.已知f(x)是f(x)的导函数,若xR,f(x)0,则f(1)f(2)一定成立D.已知a,b都是正数,且,则ab解析:命题“xR,使得x2-2x+10”的否定是“xR,都有x2-2x+10”,由x
7、R,x2-2x+1=(x-1)20恒成立,知A是真命题;当x1,且y1时,x+y2成立,则充分性成立,当x+y2时,x1,且y1不一定成立,则必要性不成立,故B是假命题;若f(x)是常数函数,则f(1)ab+a,即ab,故D是真命题.故选AD.答案:AD10.下列四个函数中,既有极小值又有最小值的是()A.y=|x|B.y=ex-x-1C.y=xln x-5D.y=x-sin x解析:函数y=|x|,当x=0时,函数取得极小值也是最小值.函数y=ex-x-1,求导得y=ex-1.令y=0,解得x=0.当x0时,y0时,y0,函数y在区间(0,+)上单调递增.所以当x=0时,函数取得极小值也是最
8、小值.函数y=xln x-5,y=ln x+1.令y=0,解得x=.根据函数的单调性,可得当x=时,函数y取得极小值也是最小值.函数y=x-sin x,因为x(-,+),sin x-1,1,所以y=x-sin x没有最小值.故选ABC.答案:ABC11.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f(x),下列命题中是真命题的为()A.f(x)的单调递减区间是B.f(x)的极小值是-15C.当a2时,对任意的x2,且xa,恒有f(x)f(a)+f(a)(x-a)D.函数f(x)有且只有一个零点解析:f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f(x)=3x2-4x-4.令f(x)=0,
9、解得x=-,x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x=-时,函数f(x)有极大值,极大值为f2时,g(x)0,故g(x)即f(x)在区间(2,+)上单调递增.设G(x)=f(x)-f(a)-f(a)(x-a)(x2),则G(x)=f(x)-f(a).令G(x)=0,得x=a.根据函数的单调性,知函数G(x)在x=a处取得极小值也是最小值G(a)=0.故当a0时,对任意的x2,且xa,恒有G(x)0,即f(x)f(a)+f(a)(x-a).故C错误.故选BD.答案:BD12.对于函数f(x)=,
10、下列说法正确的是()A.f(x)在x=处取得极大值B.f(x)有两个不同的零点C.f()f()f()D.若f(x)解析:函数f(x)定义域为(0,+),f(x)=.令f(x)=0,解得x=.当0x0,f(x)在区间(0,)内单调递增;当x时,f(x),所以f(2)f()f(),即f()f()f().故A,C正确.令f(x)=0,解得x=1,故函数f(x)有一个零点.故B错误.由f(x).设g(x)=,则g(x)=-(x0).令g(x)=0,解得x=.根据函数g(x)的单调性,得g(x)max=g()=,则k.故D正确.故选ACD.答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把
11、答案写在题中的横线上)13.若f(x)=x3-f(1)x2+x+5,则f(1)=.解析:f(x)=3x2-2f(1)x+1,令x=1,得f(1)=.答案:14.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在点(1,f(1)处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.解析:f(x)=3x2+6ax+3b.由题意得即解得所以f(x)=3x2-6x.令f(x)=0,解得x=0或x=2.由函数的单调性,可得函数f(x)的极大值点是x=0,极小值点是x=2.所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:415.已知函数f(x)=
12、4ln x+ax2-6x(a为常数),若x=2为f(x)的一个极值点,则f(2)=,a=.解析:函数f(x)=4ln x+ax2-6x(a为常数),则f(x)=+2ax-6.x=2为f(x)的一个极值点,f(2)=2+4a-6=0,解得a=1.答案:0116.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是.解析:f(x)=.令f(x)0,得-1x1,则函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).因为f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,所以解得-1m0.答案:(-1,0四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a
13、,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.解:(1)f(x)=3x2+2ax+b.由题意知f(-1)=3-2a+b=0,f(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为g(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2.于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x-2时,g(x)0;当-2x0,故-2是g(x)的极值点.当-2x1时,g(x)0,故1不是g(x)的极值点.所以g(x)的极
14、值点为-2.18.(12分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.由题意得解得(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex,f(x)=e2-x(1-x+ex-1).因为e2-x0,所以f(x)与1-x+ex-1同号.设g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.令g(x)=0,解得x=1.当x(-,1)时,g(x)0,则g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是函数g(x)在区间(-
15、,+)上的极小值也是最小值,从而g(x)0在R上恒成立.所以f(x)0在R上恒成立.故函数f(x)的单调递增区间为(-,+).19.(12分)已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值并判断x=-1是极大值点还是极小值点;(2)若f(x)在区间-3,-2上单调递增,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(-,1),f(x)=2ax-.由题意知f(-1)=-2a-1=0,解得a=-.从而f(x)=-x-.x0,x-20.当x0,函数f(x)在区间(-,-1)上单调递增;当-1x1时,f(x)0,函数f(x)在区间(-1,1)内单
16、调递减.x=-1是f(x)的极大值点.(2)由题意知f(x)0对x-3,-2恒成立,即2ax-0对x-3,-2恒成立,a对x-3,-2恒成立.-x2+x=-12,-6,.=-.故a-,即a的取值范围为.20.(12分)某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0t3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3(单位:百万元)之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3(单位:百万元),分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增
17、加的销售额为-x3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)解:(1)设投入t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(单位:百万元),则f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0t3).所以当t=2时,f(t)取得最大值4,即投入2(单位:百万元)的广告费时,该公司获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(单位:百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(单位:百万元),由此获得收益是g(x)(单位:百万元),则g(x)=-x3+x2+3x+-(3-x)2+5(3-x)-3=-x3+4x+3(
18、0x3),所以g(x)=-x2+4.令g(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.因为当0x0,函数g(x)在区间0,2)内单调递增;当2x3时,g(x)0时,求函数f(x)在区间1,2上的最小值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),对f(x)求导,得f(x)=-a.当a0时,f(x)=-a0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+).当a0时,令f(x)=-a=0,解得x=.当0x0;当x时,f(x)=0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)当1,即a1时,函数f(x)在区间1,2上单调递减,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.当2,即0a时,函数f(
19、x)在区间1,2上单调递增,所以f(x)的最小值是f(1)=-a.当12,即a1时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.因为f(2)-f(1)=ln 2-a,所以当aln 2时,最小值是f(1)=-a;当ln 2a1时,最小值为f(2)=ln 2-2a.综上可知,当0aln 2时,函数f(x)的最小值是f(1)=-a;当aln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0,函数f(x)在区
20、间(1,+)上单调递增.所以函数f(x)在x=1处取得极小值也是最小值f(1)=-e0,取b满足b0,且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以函数f(x)存在两个零点.若a0,函数f(x)在区间(1,+)上单调递增.因为当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此函数f(x)在区间(1,ln(-2a)内单调递减,在区间(ln(-2a),+)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以函数f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).(2)证明:不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),又函数f(x)在区间(-,1)上单调递减,所以x1+x22,即x1f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.
