1、15定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积 15.2汽车行驶的路程内容标准学科素养1.了解“以直代曲”“不变代变”的思想方法；2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.认识近似代替规范步骤表达提升数学运算授课提示：对应学生用书第21页基础认识知识点一曲边梯形的面积1如何计算下列两图形的面积？提示：直接用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解2如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？提示：已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段知识梳理(1)曲边梯形的概念如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)
2、的一段，我们把由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(2)求曲边梯形的面积的步骤把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，对这些面积的近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值随着拆分越来越细，这个近似值逐步“逼近”面积的精确值“以直代曲”“逼近思想”求曲边梯形面积的具体步骤如下：分割在区间a，b上等间隔地插入n1个点，分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形近似代替当n很大时，曲边梯形被分割的每一部分近似直边图形(矩形或梯形等)，这样我们就可以用直边图形代替曲边梯形求和把每个直边图形
3、的面积求出后进行求和取极限当n趋向于无穷大，即x趋向于0时，直边图形的面积之和趋向于曲边梯形的面积计算曲边梯形面积的流程图如图知识点二求变速直线运动的(位移)路程知识梳理与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出物体在atb内运动的路程s(注意：这里的“路程”也说“位移”)自我检测1函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小解析：当n
4、很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数答案：D2下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是()Af(x)|x| Bf(x)sin xCf(x)lg x1 Df(x)解析：作出各个函数的图象，可知应选D.答案：D3在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1,1n等分，则每个小区间的长度为_解析：每个小区间长度为.答案：授课提示：对应学生用书第22页探究一求曲边梯形的面积例1求由直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n2n(n1)(2n1)解析令f(x)x21.(1)分割将区间0,2n等分，分点
5、依次为x00，x1，x2，xn1，xn2.第i个区间为(i1,2，n)，每个区间长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Snfx i22(1222n2)222.(3)取极限SSn ，即所求曲边梯形的面积为.方法技巧求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟踪探究1.求由直线x0，x1，y0和曲线yx2所围成的图形的面积解析：(1)分割将区间0,1等分为n个小区间：，其中i1,2，n，每个小区间的长度为x.过各分点作x
6、轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替在区间(i1,2，n)上，以处的函数值2为高，小区间的长度x为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即Si2.(3)求和Si 202221222(n1)2.(4)取极限曲边梯形的面积S .探究二求变速运动的路程例2当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在1t2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解析将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为.所以siv.snv 3.ssn .所以这段时间行驶
7、的路程为 km.延伸探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程比较两次求出的结果是否一样？解析：将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为.所以siv.snv31222(n1)2n22462(n1)2n3.ssn .所以这段时间行驶的路程为 km.所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的方法技巧求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似都是求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪探究2.一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)t25(单位：km/h)，试计算
8、这辆汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)解析：(1)分割：在区间0,2上等间隔插入n1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i1,2，n)，t.则汽车在时间段，上行驶的路程分别记为：s1，s2，si，sn，有snsi.(2)近似代替：取i(i1,2，n)，sivt(i1,2，n)(3)求和：snsi 810.(4)取极限：ssn .授课提示：对应学生用书第23页课后小结求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b；(2)近似代替：取点ixi1，xi；(3)求和：f(i)；(4)取极限：sf(i).“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形
9、，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)素养培优忽略题目限制条件致误易错案例：求由抛物线yx2与直线y4所围成的平面图形的面积易错分析：用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽略题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误考查“以直代曲”的思想及运算能力等核心素养自我纠正：yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍下面求S阴影由得交点为(2,4)，(1)分割将区间0,2n等分，则x.即i(i1,2，n)(2)近似代替：Sif(i)x2.(3)求和Sn 2122232(n1)2.(4)取极值SSn .所求平面图形的面积为S阴影24.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的平面图形面积为.