1、数乘向量向量的线性运算必备知识基础练1.已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案A解析=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,所以A,B,D三点共线.2.下面四种说法:对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.其中正确说法的个数是()A.4B.3C.2D.1答案C解析由数乘向量运算律,得均正确.对于,若m=0,由ma=mb,未必
2、一定有a=b.对于,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.3.在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.B.C.D.答案A解析如图,=-=-)=)=.4.已知ABC中,向量=()(R),则点P的轨迹通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则=2,=2,即点P在中线AD上,可知点P的轨迹必过ABC的重心,故选D.5.(2020山东临沂高一月考)在ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,则ABC和AOC的面积比是()A.21B.41C.61D.81答案C解析在ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,则
3、=2,且SABC=2SACD,2+4=0,C,O,D三点共线,且OD=2OC,3SAOC=SACD,6SAOC=SABC,SABCSAOC=61.6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使成立的条件是()A.2a=bB.abC.a=2bD.ab且|a|=|b|答案AC解析分别表示与a,b同向的单位向量.对于A,当2a=b时,;对于B,当ab时,可能有a=-b,此时;对于C,当a=2b时,;对于D,当ab且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时.综上所述,使成立的条件是a=2b,2a=b.7.在四边形ABCD中,=3e,=-5e,且|=|,则四边形ABCD的形状为.答案等腰梯形解析由
4、已知可得=-,所以,且|.又|=|,所以四边形ABCD为等腰梯形.8.已知点P在线段AB上,且|=4|,设=,则实数=.答案解析因为|=4|,所以P是线段AB的四等分点且靠近点A,因此.9.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.(1)用a,b分别表示向量;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解)=(a+b),(a+b),b,=-a+b.(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+b=-a+b,.共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.关键能力提升练10.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是()A.a=5e1,b=7e1B
5、.a=e1-e2,b=3e1-2e2C.a=e1+e2,b=3e1-3e2D.a=e1-e2,b=3e1-e2答案ABD解析对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=6=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得无解,故a与b不共线;对D,b=3=3a,所以a与b共线.11.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且.下列关系中不正确的是()A.B.C.D.答案BCD解析在A中,故A正确;在B中,故B错误;在C中,故C错误;在D中,若,则=0,不合题意,故D
6、错误.故选BCD.12.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的三角形的几何学一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)=2;(2)=0;(3)=2;(4)SABG=SBCG=SACG,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D解析在ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;对于(2),根据三角形的重心性质得=0,(2)正确;对于(1)(3),AHOD,AHGDOG,=2,=2=2,(1)(3)正确;对于(4),过点G作GEBC,垂足为
7、E,则,BGC的面积为SBGC=BCGE=BCAN=SABC.同理,SAGC=SAGB=SABC,(4)正确.故选D.13.(2020陕西西安高二检测)在ABC中,D是BC上任意一点,2=+,则+=()A.-B.-2C.D.2答案A解析设=k=k-k,由2.)=-=,=-,=,+=-.14.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若=+,则+=;若E在线段AD上,异于A,D两点,则+的取值范围为.答案(1,2)解析(1)因为=,所以+=+1=.(2)=,(0,1),所以+(1,2).15.如图,在ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=+,则t=-的最大值是;最小值
8、是.答案30解析设=k,0k1,则=k(+2)=k+2()=2k-k,=+,t=-=3k.又0k1,当k=1时,t取最大值3.当k=0时,t取最小值0.16.设D,E,F分别是ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2=2=2,判断是否平行,并求|.解由=2(),得.同理可得,所以=-,所以(),且|=|,即|=13.17.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.学科素养创新练18.已知O,A,M,B为平面上四点,且向量=+(1-)(R,0,且1).(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数的取值范围.(1)证明因为=+(1-),所以=-=-,即=.又R,1,0且有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)解由(1)知=,若点B在线段AM上,则同向,且|(如图所示).所以1.即实数的取值范围是(1,+).7
