1、 第1节数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an
2、1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.常用结论与微点提醒1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.在数列an中，若an最大
3、，则若an最小，则诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)一个数列中的数是不可以重复的.()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的.(3)不是所有的数列都有通项公式.答案(1)(2)(3)(4)2.已知数列，下列各数中是此数列中的项的是()A. B. C. D.解析n6时，为数列中的第6项.答案B3.设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A.15 B.16 C.4
4、9 D.64解析当n8时，a8S8S7827215.答案A4.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.解析由a11514，a26524，a311534，归纳an5n4.答案5n45.(2017福州八中质检)已知数列an满足a11，an1a2an1(nN*)，则a2 018_.解析a11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 018a20.答案0考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，；(2)1，7，13，19，；(3)，2，
5、8，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an(1)n(6n5).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(4)将原数列改写为9，99，999，易知数列9，99，999，的通项为
6、10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)(2017长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A.an(1)n11 B.anC.an2sin D.ancos(n1)1(2)(2018青岛模拟)数列1，3，6，10，15，的一个通项公式是()A.ann2(n1) B.ann21C.an D.an解析
7、(1)对n1，2，3，4进行验证，an2sin不合题意.(2)设此数列为an，则由题意可得a11，a23，a36，a410，a515，仔细观察数列1，3，6，10，15，可以发现：11，312，6123，101234，所以第n项为12345n，所以数列1，3，6，10，15，的通项公式为an.答案(1)C(2)C考点二由Sn与an的关系求an (易错警示)【例2】 (1)(必修5P45T2改编)已知数列an的前n项和为Snn2n3，则数列an的通项公式an_.(2)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.解析(1)当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1n2n3n，经检验a1
8、不满足上式所以这个数列的通项公式为an(2)由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，当n2时，an2an1，即2.又n1时，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案(1)(2)(2)n1规律方法数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示.易错警示在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的情形.【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则数列an的通项公式
9、an_.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.解析(1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合上式，an4n5.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式.an答案(1)4n5(2)考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 在数列an中，(1)若a12，an1an3n2，则数列an的通项公式an_.(2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式an_.(3)若a11，an12an3，则通项公式an_.解析(1)由题意，得an1a
10、n3n2，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)52.即ann2.(2)由nan1(n1)an(n2)，得(n2).所以ana11，又a1也满足上式.所以an.(3)设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3).令bnan3，则b1a134，且2.所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.bn42n12n1，an2n13.答案(1)n2(2)(3)2n13规律方法1.形如an1anf(n)的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如an1anf(n)的递推关系式可化
11、为f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通项.3.形如an1panq的递推关系式可以化为(an1x)p(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.【训练3】 在数列an中，(1)若a13，an1an，则通项公式an_.(2)若a11，an12nan，则通项公式an_.(3)若a11，an1，则数列an的通项公式an_.解析(1)原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1 ，以上(n1)个式子的等号两端分别相加得，ana11，故an4.(2)由an12nan，得2n1(n2)，所以ana12n12n2212123(n1)
12、2.又a11适合上式，故an2.(3)因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，则1，所以是以1为首项，为公差的等差数列.所以(n1).所以an(nN*).答案(1)4(2)2(3)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式an等于()A. B.cos C.cos D.cos 解析令n1，2，3，逐一验证四个选项，易得D正确.答案D2.(2018湘潭一中、长沙一中联考)已知数列an满足：m，nN*，都有anamanm，且a1，那么a5()A. B. C. D.解析由题意，得a2a1a1，a3a1a2，则a5a3a2.答案A3.(
13、2017黄山二模)已知数列an的前n项和为Sn，且a12，an1Sn1(nN*)，则S5()A.31 B.42 C.37 D.47解析由题意，得Sn1SnSn1(nN*)，Sn112(Sn1)(nN*)，故数列Sn1为等比数列，其首项为3，公比为2，则S51324，所以S547.答案D4.数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an等于()A.2n1 B.n2C. D.解析设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.答案D5.数列an满足an1an2n3，若a12，则a8a4()A.7 B.6 C.5 D.4解析依题意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2
14、an2，所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案D二、填空题6.若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式.故数列的通项公式为an答案7.(2018云南11校联合调研改编)已知数列an中，a11，an1an2n1，则a5_.解析依题意得an1an2n1，a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)1357925.答案258.已知ann2n，且对于任意的nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_.解析因为an是递增数列
15、，所以对任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)三、解答题9.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*).(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式.解(1)由Snaan(nN*)可得a1aa1，解得a11，S2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2)Sna，当n2时，Sn1a，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故a
16、nn.10.已知数列an中，a13，an1an2n，求an.解因为an1an2n，所以an2an12n1，a2，故2，所以数列an的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列；偶数项构成以为首项，以2为公比的等比数列.当n为偶数时，ana22121，即an2；当n为奇数时，an32.综上所述，an(n1，nN*).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.数列an的通项an，则数列an中的最大项是()A.3 B.19 C. D.解析令f(x)x(x0)，得f(x)2，当且仅当x3时等号成立.因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an最大.答案C12.(2017湘中名校联考)对于数
17、列an，定义Hn为an的“优值”，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_.解析由Hn2n1，得n2n1a12a22n1an，(n1)2na12a22n2an1，得2n1ann2n1(n1)2n，所以an2n2，ankn(2k)n2，又SnS5对任意的nN*恒成立，所以即解得k.答案13.已知数列an中，an1(nN*，aR且a0).(1)若a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围.解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*).结合函数f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*).数列an中的最大项为a52，最小项为a40.(2)an11，已知对任意的nN*，都有ana6成立，结合函数f(x)1的单调性，可知56，即10a8.即a的取值范围是(10，8).
