1、数学参考答案第 1页，共 8页2022 年湖北省八市高三（3 月）联考数学试卷参考答案及评分细则选择题:题号123456789101112答案CCDCBDABACDCDBCDACD1.11,0AxxBx x，故010,1ABxx，故选 C.2.渐近线方程可化为12byxxa ，故2ab，225cabb，故离心率为52ca，故选 C.3.从装有 2 个红球和 2 个黑球的袋子内任取 2 个球，可能的结果为：1 红 1 黑、2 红、2 黑，对于 A：“至少有 1 个红球”包括 1 红 1 黑、2 红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；对于 B：“恰好有 1 个红球”和“恰好有 1 个黑球”是同一个
2、事件，不符合题意；对于 C：“至少有 1 个黑球”包括 1 红 1 黑、2 黑，“至少有 1 个红球”包括 1 红 1 黑、2 红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于 D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故 D 正确.4.因为20aabaa b，即2cos,0aaba b，求得1cos,2a b ，所以向量 a 与b 的夹角为 23.故选 C.5.函数sin 2yx的图象沿 x 轴向右平移 8 个单位后，得sin 2()sin(2)84yxx，依题意可得()42kkZ，得3()4kkZ，取1,=4k 可得，故选 B.6.内有无数条直线与 平行不能得出 ，内的
3、所有直线与 平行才能得出；,垂直于同一平面或,平行于同一条直线，不能确定,的位置关系；,垂直于同一条直线可以得出 ，反之当 时，若 垂于某条直线，则 也垂于该条直线.故选 D.7.解析：55511222myxyxymyxyxx，52xy的展开式中不存在44x y 的项，存在32x y 的项的系数为22352(1)C，故有52xmyxy的展开式中24x y 的系数为22352(1)80Cm，解得2m 故选 A.8解析：()logln=lnlnlnxMMf xxMMxMMxxx，2()1 lnlnfxMxMx，令()0fx，得易知()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，故只需比较
4、(2)f与(3)f的大小，而12(2)ln 2ln 2ln2lnfMMMM，13(3)ln3ln3ln3lnfMMMM，116632(2)(3)，故易知(2)(3)ff.故选 B.，21ba数学参考答案第 2页，共 8页9.由(0.0050.0350.0300.010)101x，可解得0.020 x，故选项 A 正确；频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项 B 不正确；得分在 80 分及以上的人数的频率为(0.0300.010)100.4，故人数为10000.4400，故选项 C 正确；这组数据的平均数的估计值为：55 0.05 65 0.275 0.35 85 0.3 95
5、0.177故选项 D 正确.10.对于方程31x ，移项因式分解可得：2(1)(1)0 xxx，1x 为实数根，要求虚数根，解方程210 xx，解得132ix.故选 CD.11.易证,ADBC BDAC CDAB，故 D 应为ABC 的垂心，故选项 A 不正确；由勾股定理可得，222222222,ABabACacBCbc在ABC 中，由余弦定理易得，ABC 的三个内角均为锐角，故选项 B 正确；设 SD=h，易得 sin,sin,sinhhhabc，若 abc，则sinsinsin，故，选项 C 正确；过点 S 作 SEBC 交 BC 于点 E，易得 SASE，由等面积法可得2222,bca
6、SESEhbcaSE，得22222222222221111a ba cb cha b cabc,故2222222111sinsinsin()1habc.故选项 D 正确.12.()sincoscossin()2222xxxxfxf x,故选项 A 正确；因为()sincossincos()2222xxxxf xf x，故x为)(xf的 一 个 周 期.而 当(0,)x时，()sincos22xxf x，此 时3322cossin122()cossin222 2sin4 sin4 cos22xxxxfxxxx，令0)(xf，得2sin2cosxx，故2,42xx.因为当(0,)2x时，0)(xf
7、，当,2x时，0)(xf，故)(xf在(0,)2 上单调递增，在(,)2 上单调递减，故)(xf的最小正周期为，选项 B 错误；且)(xf在0,)x上的最小值为 01f，最大值为3422f，由)(xf的周期性可知，选项 CD 均正确.数学参考答案第 3页，共 8页填空题:13.答案：320 xy（注：写成32yx也给分，其它不化简形式不给分）解析：()(1)3,1121,fxffx，故 xfy 在1x 处的切线的方程为：13(1)yx，即为 320 xy.14.答案：6解析：设矩形空地的长为 x m，则宽为 32xm，依题意可得，试验区的总面积 3264640.5 40.5 23034218S
8、xxxxxx，当且仅当64xx，即8x 时等号成立，每块试验区的面积的最大值为26m.15.答案：3解析：依题意，设200,4yMy，则04OMky，由2OMON，可得N为OM的中点且200,82yyN，易得直线 OM 的垂线 NP 的的方程为2000248yyyyx.令 y=0，得2028yx，故202,08yP，由抛物线的定义易知20|=14yMF，故22002|=2()(21)384OPMFyy.16.答案：14()3n，1834()559n（第一空 2 分，第二空 3 分）解析：分析每条边长度的变化可知，每次变化后的边长都是原来的 43,故周长也变成原来的 43,故第 n 个图形的周长
9、为14()3n；2123111111411311312()1,9399339SSS ，2324111114141312()48()1(),99933939S 122141()11414141834921()()1()43393939355919nnnnnS 当时，111nS当时，也满足该式.数学参考答案第 4页，共 8页解答题：17.解：（1）设数列nan的公差为 d，依题意可得：526352aad，解得2d，(2 分)故有2(2)2262naannn，故226nann.(5 分)（2）2111=4(1)(2)12nnbannnn，(7 分)故11111111=233412222(2)nnSn
10、nnn.(10 分)18.解：（1）在ABC 中，由余弦定理可得2222cosacbacB，代入2223()2sinacbbcA中，化简可得，cossin3aBbA，(2 分)由正弦定理可得：sincossinsin3ABBA，得 tan3B，(4 分)B 为ABC 的内角，故3B.(5 分)（2）由3B和2ac，根据余弦定理得22222cos=3bacacBc，故3bc,易知2A,6C.(7 分)sinsin()MPNMACBNA,由 M，N 分别为 BC，AC 的中点可得，6MACC，在BAN 中，tan=22 33BNAcb，易知2 7sin=7BNA，21cos=7BNA,故12132
11、73 21sinsin()6272714MPNBNA.(12 分)另解：由3B和2ac，根据余弦定理得22222cos=3bacacBc，故3bc,易知2A,6C.(7 分)如图，以 A 点为原点，分别以 AC，AB 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系.易得33(0,0),(0,),(3,0),(,),(,0)222c ccABc CcMN，故33(,),(,)222c ccAMBNc，2cos1741472MPNcAM BNcAMBNc，(10 分)故2sin73 211()1414MPN(12 分)数学参考答案第 5页，共 8页19.解（1）证明：在ABC 中，易知 BMAC，由 C
12、FABC 平面可得 CFBM，故 BMACFD 平面，故 BMCD.(2 分)由2CFDFCP可得 CFDFCMDFCPCP，又90CFDMCP ，故CFDMCP，可得FCDCMP，易得 PMCD，(4 分)故可得 CDPBM 平面，又 CDBCD 平面，故BCDPBM平面平面.(6 分)(2)由1CP ，2CFDFCP可得2CFBMCMDF，连接 DM，以 M 为原点，分别 MB，MC，MD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知2(,0,0),(0,0),(0,0,)BCD，由 BC=2EF，可得2(,)2 2E ，(,0)2 2DE，2(,0,)BD，2(0,)
13、CD，设平面 EBD 的法向量为111(,)mx y z，则112110220m DExym BDxz ，令11z，得(,1)m，设平面 CBD 的法向量为222(,)nxyz，则22222200n CDyzn BDxz ，令21z ，得(,1)n，依题意可得211|cos,|=2+15|m nm nmn ，解得2.(10 分)故2221CFABBCDEEF，,易得DEF 和ABC 的面积分别为 12 和 2，三棱台 DEFABC的体积为 11172223223（）.(12 分)20.(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p ，(2 分)门将在前三次扑出点球的个数 X
14、 可能的取值为 0,1,2,3,数学参考答案第 6页，共 8页030315125(0)66216P XC,12131525(1)6672P XC,2123155(2)6672P XC,3033151(3)66216P XC,X 的分布列为：X0123P12521625725721216期望12525511()012321672722162E X .(6 分)另解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p ，(2 分)门将在前三次扑出点球的个数 X 可能的取值为 0,1,2,3,易知13,6XB（），3-315()66kkkP XkC,0,1,2,3k.X 的分布列为：X01
15、23P12521625725721216期望11()362E X.(6 分)(2)第 n 次传球之前球在甲脚下的概率为 pn，则当2n 时，第1n 次传球之前球在甲脚下的概率为1np ，第1n 次传球之前球不在甲脚下的概率为11np，则11111101333nnnnpppp ，从而1111434nnpp ，又11344p，14np是以 34 为首项，公比为13的等比数列(9 分)由可知1311434nnp，91011143344p，101011(1)34qp，故1010pq(12 分)21.（1）依题意可得：222232babea，解得21ab,(3 分)故椭圆 C 的方程为：2214xy.(
16、4 分)数学参考答案第 7页，共 8页(2)设直线 BP 的方程为1111(2)0.2yk xkk 且直线 DP 的方程为2221102yk xkk 且，易知直线 DP 与 x 轴的交点为21,0.Nk（5 分）易知直线 AD 的方程为,121xy所以直线 BP 与直线 AD 的交点为1111424,.21 21kkMkk（6 分）将21yk x 代入方程1422 yx，得2222(41)80.kxk x所以点 P 的横坐标为222841Pkxk，则点 P 的纵坐标为222214.41Pkyk（7 分）将点 P 的坐标代入直线 BP 的方程1(2)yk x，整理得22212(12)(12)2(
17、12)kkkk 即22112(12)(1224)0kkkk k，（9 分）因为2120k，所以211212240kkk k.由 M，N 点坐标可得直线 MN 的方程为：12121122121212212222422221421()(2)14221212121k kk k xkk k xkk kk kyxxk kkkkkkk，所以直线 MN 过定点(2，1).（12 分）另解：易知直线 AD 的方程为,121xy设点0000(,)()0P xyx y，直线 BP 的方程为00(2)2yyxx，联立00112(2)2yxyyxx，可得0000000(,)42442222Myxyyxyx，（6 分）
18、由 D，P，N 三点共线，易得00(,)01Nxy，直线 MN 的斜率0000022000000000004224(1)4248444221MNyyxyykyxxyxyx yyxy，（9 分）由220014xy，可得220044xy，代入上式可得：00020000004(1)188422MNyyykyyx yyx，可得直线 MN 的方程为：00000000000000001122221()(2)1221222222yxyyyxyyxxxyxyyxyxyx，所以直线 MN 过定点(2，1)（12 分）数学参考答案第 8页，共 8页22.（1）当1a 时，()e()(1)ln(1)2xF xf x
19、xxx，定义域为 1 （，），（1 分）()ln(1)1F xx，令()0F x，解得e1x ，令()0F x，解得1e1x，故此时()F x 的单调递增区间为 e1（，），单调递减区间为 1,e1（）.（4 分）(2)()f x 在区间 1,1e上有意义，故10ax 在 1,1e上恒成立，可得ea，（5 分）依题意可得：()eln(1)10 xfxaax 在 1,1e上恒成立，设()()eln(1)1xg xfxaax，2()e1xag xax，易知()g x在 1,1e上单调递增，故2()(1)e01ag xga，故()()eln(1)1xg xfxaax在 1,1e上单调递减，最小值为(
20、1)g，（8 分）故只需(1)eln(1)10gaa,设()eln(1)1h aaa，其中ea，由()01ah aa 可得()eln(1)1h aaa 在 e （，）上为减函数，又(e1)0h，故e1a .综上所述：a 的取值范围为 ee1a.（12 分）另解：()f x 在区间 1,1e上有意义，故10ax 在 1,1e上恒成立，可得ea，（5 分）依题意可得：()eln(1)10 xfxaax 在 1,1e上恒成立，原不等式可化为lne1111ln()elnln()0 xxaa xaxaaaaa，即ln11elnln()xaaxaa，等式两边同加 x 可得：1ln()ln1elneln()xxaaxaxa，（*）令()exg xx，则()e10 xg x，即()g x 在 R 上单调递增，由（*）式可知：1(ln)(ln()gagxax，则1lnln()axax，即1lnln()axxa在 1,1e上恒成立，（8 分）令1()ln()h xxxa，则11()1xah xxa，又1,1ex，ea ，故110 xa，10 xa，即()0h x，故()h x 在 1,1e上单调递减，故min1ln()1 ln(1)ah xa，故1lnln(1)ln(1)1aaa，解得e 1a ，综上所述，ee1a.（12 分）
