1、江苏省扬州中学20152016学年度第二学期期初质量检测数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.复数（是虚数单位）的虚部是_2.从编号为0,1,2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 3.若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为_4.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_.5.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 6.设函数，则= 7.已知：关于的不等
2、式有解，：或 , 则是的 条件（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 8.已知，则= 9.已知是椭圆的左、右焦点，弦过，若的周长为8，则椭圆的离心率为 10.设，实数满足，若，则实数的取值范围是 11.在矩形中，为矩形内一点，且，则的最大值为 12.数列中，为数列的前n项和，且对，都有则的通项公式= 13.不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则_14.对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭如果函数（）在上封闭，那么
3、实数的取值范围是_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知.（1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为,且,求边上的高的最大值.16（本小题满分14分）正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，且平面（1）求证：平面；（2）求证：平面平面17（本小题满分15分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与
4、生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.18（本小题满分15分）已知椭圆的下顶点为，到焦点的距离为.（1）设Q是椭圆上的动点，求的最大值；（2）若直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当，且满足时，求面积的取值范围19.（本小题满分16分）函数，其中为实常数.（1）讨论的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，设().是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找
5、出的一个值，并证明；若不存在，说明理由. ()20（本小题满分16分）已知数列满足：.（1）若，求数列的前项和的值；（2）求证：对任意的实数，总存在正整数，使得当（）时，成立.数学（附加题）21（本小题满分10分）已知，求矩阵22（本小题满分10分）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长23（本小题满分10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，
6、记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1)求1、2的概率分布和数学期望E(1)、E(2)；(2)当E(1)E(2)时，求p的取值范围24（本小题满分10分）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）求集合的元素个数的最大值参考答案1. 2. 10 3. 4.3 5. 6. 1 7. 必要不充分条件 8. 9. 10. -3m6 11. 12. 13. 14. 15. (1)整理得， 3分增区间为 6分(2), 9分 ，10分由余弦定
7、理及基本不等式可知，此时 所以BC边的最大值为.14分16. （1）正方形中，又平面，平面，所以平面7分（2）因为平面，且平面，所以，又正方形中，且，平面，所以平面,又平面，所以平面平面14分17. （1）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有：T1(x)，2分T2(x)，4分， T3(x)，6分其中x，kx，200(1k)x均为1到200之间的正整数. 7分 （2）完成订单任务的时间为max T1(x)，T2(x)，T3(x)，其定义域为0x,xN*. 易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数，注意到T2(x
8、)T1(x)，于是当k2时，T1(x)T2(x)，此时，max T1(x)，T3(x)max，由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当时，取得最小值，解得x，由于4445，而T1(44)，T3(45)，2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，k3，此时，.记T(x)，maxT1(x)，T(x)，易知，T(x)是增函数，则max T1(x)，T3(x)max T1(x)，T(x)max， 由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当时，取最小值，解得x，由于36，T(37)，此时，完成订单任务的最短时间大于.12分当k2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，故k1，此时，max T2(x)
9、，T3(x)max，由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当时，取最小值，解得x，类似的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.14分综上所述，当k2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68. 15分18. （1）易知，所以椭圆的方程为 ；设，则当时， 5分（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为（）直线即与圆O:相切，有：得7分又点A、B的坐标（，）、（，）满足：消去整理得，由韦达定理得，其判别式，又由求根公式有=12分，且 15分19. 解：（1）定义域为， 当时，在定义域上单增；2分当时，当时，单增；当时，单减。增区间：，减
10、区间：。综上可知：当时，增区间，无减区间；当时，增区间：，减区间：。4分（2）对任意恒成立，令，6分在上单增，故的取值范围为。8分（3）存在，如等。9分下面证明：及成立。先证，注意，这只要证（*）即可，容易证明对恒成立(这里证略)，取即可得上式成立。让分别代入（*）式再相加即证：，于是。12分再证，法一：只须证，构造证明函数不等式：，令，当时，在上单调递减,又当时，恒有，即恒成立。，取，则有，让分别代入上式再相加即证：即证。16分法二：，又故不等式成立。20. （1）a2039(2027)，当an3时，an+1an3，a1，a2，a3，a10，是首项为20、公差为3的等差数列a102027(1
11、，3)，当an3时，an+14an，当n10时，an(1，3)，且an+1an4S30( a1a2a3a10)(a11a12)(a29a30)1020135410200956分（2）当an3时，an+1an3()当a3时，不妨设a3kp(kN*，0p3)，由an+1an3，得a1，a2，a3，ak+1成等差数列，ak+1p0，3)当p0时，则有ak+24，ak+31，ak+43，ak+51，存在正整数mk2，当nm(nN*)时，an+2 an成立，则an+4 an成立当0p1时，则有ak+24p(3，4)，ak+31p(0，1)，ak+43p(3，4)，ak+5p(0，1)，存在正整数mk，当
12、nm(nN*)时，an+4an成立当p1时，则有ak+23，ak+31，存在正整数mk，当nm(nN*)时，an+2 an成立，则an+4an成立当1p3时，则有ak+24p(1，3)，ak+3p(1，3)，存在正整数mk，当nm(nN*)时，an+2an成立，则an+4an成立12分()当a3时，a21，由(2) () 知命题成立()当0a3时，由(2) () 知命题成立()当a0时，由(2) () 知命题成立()当a0时，则a24a3，由(2) 知命题成立综上得：对任意的实数a，总存在正整数m，使得当nm(nN*)时，an+4an成立16分附加答案21. 解:设 则 ， 2故 6 1022
13、（1） （2）截得的弦长为23. 解(1)1的概率分布为11.21.181.17PE(1)1.21.181.171.18.(2分)故2的概率分布为21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以2的数学期望是E(2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(7分)(2)由E(1)1.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以，当E(1)E(2)时，p的取值范围是0p0.3. (10分)24. （1） 4分（2） 集合M中所有元素均不超过36集合M中的元素最多除了前面两个以外都是4的倍
14、数，第二个必定是偶数。集合M中的数，和除以9的余数相等当M中的元素有3的倍数时，可以证明M中的所有元素都是3的倍数。除以9的余数只能是3,6,3,6，6,3,6,3,，或0,0,0,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数的只有24，除以9余0且是4的倍数的只有36.则M中的数从第三项开始最多只有两项，所以M最多只有4项。 当M中没有3的倍数，则都不是3的倍数，除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个，从起，除以9的余数是1,2,4,8,7,5，不断的六项循环（可能从2,4，8，7,5开始），而除以9的余数是1，2,4,8,7，5且是4的倍数（不大于36），只有28,20,4,8,16,32，所以加上前两项最多8项。例如，项数为8项。 10分 第2问，猜对8项并举出实例给2分。
