1、第8章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=x(x+4),x0,x(x-4),x0,则该函数的零点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析当x0时,令x(x+4)=0,解得x=-4;当x0时,令x(x-4)=0,解得x=0或x=4.综上,该函数的零点有3个.2.(2021福建福州高一期末)函数f(x)=log3(x+1)+x-2的零点所在的一个区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B解析因为f(0)=-2,f(1)=log32-10,f
2、(3)=log34+10,f(4)=log35+20,所以函数零点所在的一个区间是(1,2).故选B.3.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()答案C解析二分法求函数零点时,其零点左右两侧的函数值符号相反,而C中零点两侧函数值同号,故选C.4.(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数
3、据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,r=2.286=0.38,e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t0.69,t0.690.381.8(天),故选B.5.(2021河南焦作高一期末)已知函数f(x)=log2x,12,若方程f(x)-a=0至少有两个实数根,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1C.0,2)D.0,2答案A解析方程f(x)-a=0至少有两个实数根,等价
4、于函数f(x)的图象与直线y=a至少有两个不同的交点.作出直线y=a与函数f(x)的图象,如图所示.根据图象可知,当0a1或a0时,函数f(x)的图象与直线y=a没有交点,所以a的取值范围是(0,1).6.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是()答案B解析由鱼缸的形状可知,水的体积随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.故选B.7.若函数f(x)=ax,2a(其中a0,a1)存在零点,则实数a的取值范围是()A.12,1(1,3)B.(1,3C.(2,3)D.(2,3答案C解
5、析由函数的解析式可知a2,因为指数函数y=ax是增函数,在区间(2,a上无零点,所以函数y=loga(x-2)在区间(a,+)上存在零点,由于y=loga(x-2)是增函数,故当x=a时,有loga(a-2)0=loga1,从而a-21,即a3,所以实数a的取值范围是(2,3).故选C.8.(2020天津,9)已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR)恰有4个零点,则k的取值范围是()A.-,-12(22,+)B.-,-12(0,22)C.(-,0)(0,22)D.(-,0)(22,+)答案D解析f(x)=x3,x0,-x,x0,则如图.1k1
6、k3,k3k,k21,k1,左侧无交点.x3=kx2-2x要有三个根,即x2-kx+2=0有两根,=k2-80,k22.综上,k22.(2)若k0,如图.点1k,-1k恰在y=-x上,且过二次函数顶点,km恰有两个零点,实数m的取值范围可以是()A.(-,-2)B.-2,0)C.0,4)D.4,+)答案BD解析在同一平面直角坐标系中,作出函数y=-x2-2x,y=x-4的图象,如图,由图象可知,当-2m0时,函数f(x)有两个零点-2和4;当m4时,函数f(x)有两个零点-2和0.故选BD.11.(2020广东广州执信中学高二期中)函数f(x)的定义域为-1,1),其图象如图所示,函数g(x)
7、是定义域为R的奇函数,满足g(2-x)+g(x)=0,且x(0,1)时,g(x)=f(x),则以下结论正确的是()A.g(0)=0B.g(x)是以2为周期的函数C.函数g(x)在(-1,5)上有且仅有3个零点D.不等式f(-x)0的解集为x|-1x0答案ABD解析对于A,由函数g(x)是定义域为R的奇函数得到g(0)=0,故A正确;对于B,由于g(2-x)=-g(x)=g(-x),所以函数的周期为2,故B正确;对于C,由周期为2可知g(4)=g(2)=g(0)=0,由g(2-x)+g(x)=0可得g(1)+g(1)=2g(1)=0,所以g(3)=g(1)=0,故C错误;对于D,结合函数f(x)
8、的图象,由f(-x)0得0-x1,解得-1x0,故D正确.故选ABD.12.(2020山东莒县教育局教学研究室高一期中)已知函数f(x)=1-x21+x2,则下列关于f(x)的性质表述正确的是()A.f(x)为偶函数B.f1x=-f(x)C.f(x)在2,3上的最大值为-45D.g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上至少有一个零点答案ABD解析f(x)=1-x21+x2的定义城为R,f(-x)=1-(-x)21+(-x)2=1-x21+x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A正确;f1x=1-1x21+1x2=x2-1x2+1=-f(x),故B正确;因为f(x)=1-x21+x2=-
9、1+21+x2,当x2,3时,y=1+x2是增函数,所以f(x)=-1+21+x2是减函数,因此f(x)max=f(2)=-1+21+4=-35,故C错误;因为g(x)=f(x)+x,所以g(-1)=f(-1)-1=-1,g(0)=f(0)+0=1,即g(-1)g(0)0.由零点存在定理可得,g(x)=f(x)+x在区间(-1,0)上存在零点,故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.如果函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则另一个零点是.答案3解析函数f(x)=x2+mx+m+3的一个零点为0,则f(0)=0,所以m=-3,则f(x)=x2-3x
10、,于是另一个零点是3.14.用二分法求方程ln x-2+x=0在区间1,2上的近似解,先取区间中点c=32,则下一个含根的区间是.答案32,2解析令f(x)=lnx-2+x,则f(1)=ln1-2+1=-10,f32=ln32-2+32=ln32-12=ln32-lne=ln32e=ln94eln1=0,f32f(2)0,下一个含根的区间是32,2.15.已知函数f(x)=x2+x+a(a0)在区间(0,1)上有零点,则a的取值范围为.答案(-2,0)解析f(x)在(0,1)上有零点,-a=x2+x在(0,1)上有解,令y=x2+x=x+122-14,则函数y=x2+x,x(0,1)的值域为(
11、0,2),0-a2,-2a0.16.(2020天津西青高一期末)用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园,墙长为16米,则矩形花园面积的最大值是平方米.答案98解析设与墙平行的篱笆长为x米,由题可得0x16,则花园面积S=x28-x2=-12(x-14)2+98,00,3-x0,解得-3x3,函数的定义域为x|-3x3,关于原点对称,又f(-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(x),f(x)是偶函数.(2)解f(x)=ln(3-x)+ln(3+x)=ln(9-x2).令f(x)=ln(9-x2)=0,9-x2=1,解得x=22(经检验符合题意).函数f(x)的零点为-22和22.18.
12、(12分)(2021湖南张家界高一期末)某变异病毒感染的治疗过程中,需要用到某医药公司生产的A类药品.该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)=110x2+20x(单位:万元),每千件药品售价为60万元,此类药品年生产量不超过280千件,假设在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完.(1)求公司生产A类药品当年所获利润y(单位:万元)的最大值.(2)当年产量为多少千件时,每千件药品的平均利润最大?并求最大平均利润.解(1)由题可得0x280,y=60x-110x2+20x-160=-110x2+40x-160=-110(x-200)2+38403840,
13、当x=200时,y取得最大值3840.所以当年产量为200千件时,在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元.(2)可知平均利润为-110x2+40x-160x=-x10+160x+40-2x10160x+40=32,当且仅当x10=160x,即x=40时,等号成立.所以当年产量为40千件时,每千件药品的平均利润最大为32万元.19.(12分)(2020广东深圳高一期末)已知函数f(x)=x|x-2|.(1)若x-1,2,求函数f(x)的值域;(2)若函数g(x)=f(x)+ax-1在区间(0,+)上恰好有三个零点,求实数a的取值范围.解(1)当x-1,2时,f(x)=2x-x2=-(x-1
14、)2+1,所以x=1时,f(x)有最大值1;x=-1时,f(x)有最小值-3.故值域为-3,1.(2)令g(x)=0,得a=1x-|x-2|,令y=1x-|x-2|,当x2时,y=1x-x+2,易知函数y=1x-x+2在2,+)上为减函数,所以y12;当0x2时,y=1x+x-221xx-2=0,当且仅当x=1时,等号成立.作出y=1x-|x-2|的简图如下,由题意及图象可知,a的取值范围为0,12.20.(12分)(2020浙江高一课时练习)利用计算器,用二分法求方程lg x+x-3=0的近似解(精确到0.1).解令f(x)=lgx+x-3,可知函数f(x)在(0,+)上是增函数,f(2)=
15、lg2-10,f(2)f(3)0,所以可知方程lgx+x-3=0的解在区间(2,3)内.利用二分法逐步计算,列表如下:区间中点值中点的函数值的符号(2,3)2.5f(2.5)0(2.5,2.75)2.625f(2.625)0(2.5,2.625)2.5625f(2.5625)0因为f(2.5625)f(2.625)0),f(x)在区间-1,4上的最大值是f(-1)=6a=12.a=2.f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(xR).(2)由(1)知f(x)=2x2-10x=2x-522-252,当t+152,即t52时,f(x)在t,t+1上是增函数,g(t)=f(t)=2t2-10t;当t
16、52t+1,即32t52时,f(x)在对称轴处取得最小值,g(t)=f52=-252.综上所述,g(t)=2t2-6t-8,t52.22.(12分)(2021江西赣州高一期末)为减少人员聚集,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示,当S中有x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均上班路上时间为f(x)(单位:分钟),则f(x)=30,0x30,2x+1800x-90,30x100,而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x取何值时,自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间?(2)已知上班族S的人均上班
17、路上时间计算公式为:g(x)=f(x)x%+40(100-x)%,讨论g(x)的单调性,并说明实际意义.(注:人均上班路上时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)解(1)依题意得,当0x30时,f(x)=3040,不符,当30x100时,f(x)=2x+1800x-90,若自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间,则30x100,2x+1800x-90=40,解得x=20(舍)或x=45,即当x=45时自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间.(2)当0x30时,g(x)=-110x+40;当30x100时,g(x)=150x2-1310x+5
18、8,即g(x)=-110x+40,0x30,150x2-1310x+58,30x100.当0x30时,g(x)=-110x+40是减函数,则g(x)g(30)=37;当30x100时,g(x)=150x2-1310x+58,在x(30,32.5)上是减函数,g(x)g(30)=37,在x(32.5,100)上是增函数.综上,当x(0.32.5)时,g(x)是减函数,当x(32.5,100)时,g(x)是增函数.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均上班路上时间随着S中自驾成员的增加而减少;当大于32.5%的人自驾时,人均上班路上时间随着S中自驾成员的增加而增加;当自驾人数等于32.5%时,人均上班路上时间最少.
