1、课后限时集训(六十四)参数方程(建议用时：60分钟)A组基础达标1已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)故直线AM的参数方程为(t为参数)2已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)求
2、直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求xy的取值范围解(1)由得y2x6，故直线l的普通方程为2xy60.由2cos ，得22cos ，所以x2y22x，即(x)2y22，故曲线C的直角坐标方程为(x)2y22.(2)根据题意设点M(cos ，sin )，则xycos sin 2sin，所以xy的取值范围是2，23(2019新乡模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos ，曲线M的直角坐标方程为x2y20(x0)(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；(2)设曲线C与曲线M的
3、两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和解(1)由得故曲线M的参数方程为.(2)由4cos ，得24cos ，x2y24x.将代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直线OA与直线OB的斜率之和为4.4以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2sin30，曲线C的参数方程是(为参数)(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|PB|.解(1)直线l的极坐标方程为2sin30，化为sin cos 30，即l的普通方程为xy30，由曲线C的参数方程消去，得C的普通方程为x2y24.(2
4、)在xy30中令y0得P(3,0)，k，倾斜角，l的参数方程可设为即代入x2y24得t23t50，70，方程有两解，又t1t23，t1t250，t1，t2同号，故|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.5已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时
5、，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.6已知直线的参数方程为(其中t为参数，m为常数)以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin ，直线与曲线C交于A，B两点(1)若|AB|，求实数m的值；(2)若m1，点P的坐标为(1,0)，求的值解(1)曲线C的极坐标方程可化为22sin ，转化为普通方程可得x2y22y，即x2(y1)21.把代入x2(y1)21并整理可得t2(m)tm20，(*)由条件可得(m)24m20，解得m.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2m，t1t2m20，|AB|t1t2|，解得m或.(
6、2)当m1时，(*)式变为t2(1)t10，t1t21，t1t21，由点P的坐标为(1,0)知P在直线上，可得1.B组能力提升1已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值解(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x4)2(y3)21.同理曲线C2的普通方程为1.C1表示圆心是(4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，又Q(8cos ，3s
7、in )故M，又C3的普通方程为x2y70，则M到直线C3的距离d|4cos 3sin 13|3sin 4cos 13|5sin()13|.所以d的最小值为.2平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知与直线l平行的直线l过点M(2,0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.解(1)由l的参数方程得其普通方程为xy10.将xcos ，ysin 代入直线方程得cos sin 10.由可得2(1cos2)2cos ，即2sin22cos ，故曲线C的直角坐标方程为y22x.(2)直线l的倾斜角为，直线l的倾斜角也为.又直线l过点M(2,0)，直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t24t160，设点A，B对应的参数分别为t1，t2.由根与系数的关系知t1t2，t1t2，|AB|t1t2|.
