1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 必备知识自主学习 1.平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_.导思(1)已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).如何用a,b的坐标表示ab?|a|,|b|分别用坐标怎样表示?(2)已知向量a=(x,y),与a共线的向量的坐标条件是什么?与 a垂直的向量的坐标条件又是什么?x1x2+y1y2【思考】向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?提示:公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”,在解题时要注意坐标的顺序.2.向量的模与夹角的坐标表示(1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|
2、=_.两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =_.(2)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则 cos =_.2211xy222121(xx)(yy)|AB|121222221122x xy yxyxya ba b【思考】(1)|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一样吗?为什么?提示:|的计算公式与解析几何中两点间的距离公式是完全一致的,实际上|即为A,B两点间的距离.(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积大于0,有cos 0,则两向量的夹角为 锐角.这种说法对吗?提示:不对,当两向量的数量积大于0即
3、cos 0时,为锐角或零角.ABABAB3.向量垂直与共线的条件 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)ab_.(2)ab_.x1x2+y1y2=0 x1y2-x2y1=0【思考】向量垂直与共线的条件很相近,你觉得怎样记忆比较好呢?提示:两者比较接近,可以对比记忆,分别简记为:垂直是横横纵纵积相反,共线是纵横交错积相等.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.()(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),abx1x2-y1y2=0.()(3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x
4、2y1=0,则向量a,b的夹角为180.()(4)若两个向量的数量积小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.()2.已知a=(1,-1),b=(2,3),则ab=()A.5 B.4 C.-2 D.-1【解析】选D.ab=(1,-1)(2,3)=12+(-1)3=-1.3.(教材二次开发:习题改编)已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 _.【解析】因为ab=35+412=63,|a|=5,|b|=13,所以a与b夹角的余弦值为 =答案:223422512a ba b6363.5 13656365关键能力合作学习 类型一 数量积的坐标运算(数学抽象、数学运算)【题组训练】1.(
5、2020宜宾高一检测)已知向量a=(1,m),b=(2,-1),若(a-b)b=-1,则实数 m=()A.2 B.C.-D.-2 2.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)1212AP AB3.已知a与b同向,b=(1,2),ab=10.(1)求a的坐标;(2)若c=(2,-1),求a(bc)及(ab)c.【解题策略】(1)进行数量积运算时,要正确使用公式ab=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,
6、另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则ab=_,a(a-b)=_.【解析】ab=(-1,2)(3,2)=(-1)3+22=1,a-b=(-4,0),a(a-b)=(-1,2)(-4,0)=4.答案:1 4 2.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足ac=2,bc=5,则向量c=_.【解析】设c=(x,y),因为ac=2,bc=5,答案:9x2xy29 47c().3x2y547 7y7 ，解得所以，9 4()7 7，3.已知正方形ABCD的边长为1,点E
7、是AB边上的动点,则 的值为_;的最大值为_.DE CBDE DC【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则 =(t,-1),=(0,-1),所 以 =(t,-1)(0,-1)=1.因为 =(1,0),所以 =(t,-1)(1,0)=t1,故 的最大值为1.答案:1 1 CBDEDE CBDE DCDCDE DC类型二 平面向量的模(直观想象、数学运算)【题组训练】1.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则 ABC的形状为()A.直角
8、三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 2.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于_.3.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满 足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是_.3【解题策略】向量模的问题的解题策略(1)字母表示的运算:利用公式:aa=a2=|a|2或|a|=将向量运算转化 为实数运算.(2)坐标表示的运算:若a=(x,y),则|a|=2，a aa22xy.【补偿训练】若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为_.【解析】因为a=(2x
9、-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1)=(3x-2,4-3x),所以|a-b|=所以当x=1时,|a-b|取最小值为 .答案:2222(3x2)(43x)18x36x2018(x 1)2.22类型三 数量积坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)角度1 夹角、垂直的求解与证明 【典例】已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD.(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余 弦值.【思路导引】(1)要证明ABAD,只需证明 =0.(2)对角线所夹锐角即为 与 的夹角(或其补角).
10、ACAB ADBD【变式探究】若本例改为:已知点A(-1,3),B(1,1),C(4,4),D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形.(2)求DAB的余弦值.角度2 利用夹角、垂直求参数(或范围)【典例】已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时,(1)ka-b与a+2b垂直.(2)ka-b与a+b的夹角为120.【思路导引】(1)分别求出ka-b与a+2b,利用两向量垂直的坐标公式求k;(2)分别求出|ka-b|、|a+b|与(ka-b)(a+b),结合题中已知夹角,利用夹角公式求k.【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积
11、的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用|a|=计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式cos =求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos 求 的值.2.非零向量a,b垂直问题的解决办法 涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助abab=x1x2+y1y2=0来解决.22xy121222221122x xy yxyxy【题组训练】1.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=_.2.已知a=(1,2),b=(1,),分别确定实数 的取值范围,使得:(1)a与b的夹角为直角.(2)a与b的夹角为钝角.(3)a与b的夹角
12、为锐角.【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,则 (x3-x1)(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.2.向量共线的条件 由cos =可知,若=0或180,则cos =1,则有x1x2+y1y2=,利用此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共线.ACAB121222221122x xy yxyxy22221122xyxy【拓展训练】已知在ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|与点D的 坐标.AD备选类型 函数中的向量问题(直观想象、数学运算
13、)【典例】求函数y=3 的最大值.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平 面向量的数量积公式类似,建立向量模型,尝试利用|ab|a|b|求解.2x45x【解题策略】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路:“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【跟踪训练】在ABC中,BC边上的中线AD的长为2,点P是ABC所在平面上的任意一点,则 的最小值为()A
14、.1 B.2 C.-2 D.-1 PA PBPA PC1.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(ab)b,则|c|等于()A.4 B.2 C.8 D.8 【解析】选D.易得ab=2(-1)+42=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=课堂检测素养达标 228(8)8 2.2.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则 =()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.=+=(3,-1),故 =(2,1)(3,-1)=6-1=5.ADABADACACABADADAC3.(教材二次开发:练习改编)已知向
15、量a=(1,),b=(-2,2 ),则a与b的夹角 是()【解析】选C.设a与b的夹角为,则cos=因为0,所以=.33A.B.C.D.6432a ba b(13)(2 2 3)1,2 42，34.已知a=(,2),b=(3,2),若a与b的夹角为锐角,则 的取值范围是 _.【解析】因为a与b的夹角为锐角,所以0 1,即0 1,解得-或0 .答案:a ba b22234594 431313411()(0)()333，5.求证:(x1x2+y1y2)2()().【证明】由待证不等式出发,联想向量a,b的数量积ab=x1x2+y1y2,于是设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且它们的夹角为,则:ab=|a|b|cos|a|b|,得:x1x2+y1y2 ,即(x1x2+y1y2)2()().2211xy2222xy2211xy2222xy2211xy2222xy
