1、课时作业(十四)一、选择题1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：f (x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f (x)0，解得x2.答案：D2已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)解析：f(x)3x22ax(a6)，因为函数有极大值和极小值，所以f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a243(a6)0，解得a6.答案：B3对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)解
2、析：不等式(x1)f(x)0等价于或可知f(x)在(，1)上递减，(1，)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)f(2)2f(1)答案：C4(2013贵州省六校联盟第一次联考)已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()解析：令yxf(x)0结合上图可得f(x)零点为x11，x21，故f(x)极点在x11，x21处取得，B、D排除；另一方面结合图象可知x0，f(x)0的解集为(1，)，x0，f(x)0的解集为(0,1)；x0的解集为(，1)，x0，f(x)0解为(1,0)故f(x)在(，1)增函数，在(1,1)减函数，
3、在(1，)增函数，由此可知选择C.答案：C5若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1) C(0，) D.解析：f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f (x)3x26b，由题意，函数f (x)的草图如图，即解得0b0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由题意x2f(x)，令g(x)x2f(x)，则g(x)，且f(x)，因此f (x).令h(x)ex2g(x)，则h(x)ex2g(x)e，所以x2时，h(x)0；0x2时，h(x)0时，f(x
4、)是单调递增的，f(x)无极大值也无极小值答案：D二、填空题7已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_.解析：令f (x)3x2120，得x2或x2，列表得：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f (x)00f(x)17单调递增极大值24单调递减极小值8单调递增1可知M24，m8，Mm32.答案：328设函数f(x)x(ex1)x2，则函数f(x)的单调增区间为_解析：因为f(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，即(ex1)(x1)0，解得x(，1)或x(0，)所以函数f(x)的单调增区间为(，1和0，)答
5、案：(，1和0，)9f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_解析：f(x)x32cx2c2x，f (x)3x24cxc2，f (2)0c2或c6.若c2，f (x)3x28x4，令f (x)0x2，f (x)0x0)，因而f(1)1, f (1)1，所以曲线yf(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f (x)1，x0知：当a0时， f (x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f (x)0，解得xa，又当x(0，a)时， f (x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大
6、值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值11已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f (x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)由题意得f (x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f (x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x
7、)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2.则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间，上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).12(2013石家庄第二次模拟)已知函数f(x)e2xax(aR，e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a1，函数g(x)(xm)f(x)e2xx2x在区间(0，)上为增函数，求整数m的最大值解：(1)定义域为(，),
8、f (x)e2xa，当a0时，f (x)0，所以f(x)在(，)上为增函数；当a0时，由f (x)0得x，且当x时， f (x)0，所以f(x)在为减函数，在为增函数(2)当a1时，g(x)(xm)e2xx2x，若g(x)在区间(0，)上为增函数，则g(x)(xm)(e2x1)x10在(0，)恒成立，即mx在(0，)恒成立令h(x)x，x(0，)；h(x)，x(0，)；令L(x)e2x2x3，可知Le40，又当x(0，)时L(x)2e2x20，所以函数L(x)e2x2x3在x(0，)只有一个零点，设为，即e223，且；由上可知当x(0，)时L(x)0，即h(x)0，即h(x)0，所以h(x)x
9、，x(0，)，有最小值h()，把e223代入上式可得h()，又因为，所以h()，又mh(x)恒成立，所以mh()，又因为m为整数，所以m1，所以整数m的最大值为1.热点预测13(2013安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围；(3)在(1)的条件下，过点P(1，4)作函数F(x)x2f(x)3ln x3图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程解：(1)由题可知f(x)a，f 1，解得a1.故f(x)x
10、3ln x，f (x)，由f (x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f (x)0f(x)13ln 2于是可得：f(x)minf(2)13ln 2.(2)f (x)a(x0)由题可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1、x2，并令h(x)ax23x2则解得0a0)，F(x)3x26x2(x0)设切点为T(x0，y0)，由于点P在函数F(x)的图象上，当切点T不与点P(1，4)重合，即当x01时，由于切线过点P(1，4)，则3x6x02所以x3x2x04(x01)(3x6x02)，化简得x3x3x010，即(x01)30，解得x01(舍去)当切点T与点P(1，4)重合，即x01时，则切线的斜率kF(1)5，于是切线方程为5xy10.综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为5xy10.