1、专题七选修4系列第二讲不等式选讲(选修45)高考导航1绝对值不等式的求解与函数的综合问题2绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合.1(2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空,求m的取值范围解(1)f(x)当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2,且当x时,|x1|x2|x2x,故m的取值范围为.2(2016全国卷)已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)证明:当a
2、,bM时,|ab|1ab|.解(1)f(x)当x时,由f(x)2得2x1;当x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明:由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0,则|axb|ccaxbc,|axb|caxbc或axbc,然后根据a,b的取值求解即可;(2)若c0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;(2)把这些根由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间;(3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个
3、区间上的解集;(4)这些解集的并集就是原不等式的解集解(1)当a1时,f(x)x2x4,g(x)当x1时,f(x)g(x)x2x40,解得x,11的解集;(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解,求实数m的取值范围解(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时,f(x)30,不合题意;当2x1,得x0,即0x1,即x1.综上,不等式f(x)1的解集为(0,)(2)关于x的不等式f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|,由(1)可知f(x)max3,即|12m|7,解得3m4.故实数m的取值范围为3,4考点二含绝对值不等式的综合问题1定理1:如果a,b是实数,则|ab|a|
4、b|,当且仅当ab0时,等号成立2定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0时,等号成立角度1:绝对值的几何意义及应用解(1)当a2时, f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当xR时, f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时,等价于1aa3,无解当a1时,等价于a1a3,解得a2.所以a的取值范围是2,)思维流程(1)(2)解(1)f(x)|xm|x3m|当m1时,由或x3,得x,不等式f(x)1的解集为.(2)
5、不等式f(x)|2t|t1|对任意的实数x,t恒成立,等价于对任意的实数x,f(x)(|2t|t1|)min恒成立,即f(x)max(|2t|t1|)min,f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m,|2t|t1|(2t)(t1)|3,4m0,0m.即实数m的取值范围为.绝对值恒成立问题应关注的3点(1)巧用“|a|b|ab|a|b|”求最值(2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.(3)f(x)a有解f(x)mina有解f(x)maxa.对点训练1角度1(2017山西吕梁二模)已知函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1,解不等式f(x)3;(2)如果xR,使得f
6、(x)2成立,求实数a的取值范围解(1)若a1,f(x)3,即为|x1|x1|3,当x1时,1xx13,即有x;当1x1时,1xx123不成立;当x1时,x1x12x3,解得x.综上可得,f(x)3的解集为;(2)xR,使得f(x)f(x)min,由函数f(x)|x1|xa|x1xa|a1|,当(x1)(xa)0时,取得最小值|a1|,即|a1|2,即2a12,解得1a3.则实数a的取值范围为(1,3)2角度2已知函数f(x)|x3|,g(x)|x4|m.(1)已知常数a0;(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围解(1)由f(x)a20得|x3|2a,x32a或x35a或xg(x)恒成立,则m|x3|x4|恒成立,|x3|x4|(x3)(x4)|7,m的取值范围为m0,b0,c0,且abc1.(1)证明:(1a)(1b)(1c)8;(2)证明:.证明(1)1a2,1b2,1c2,(1a)(1b)(1c)2228,abc1,(1a)(1b)(1c)8.(2)abbc22,abac22,bcac22,上面三式相加得,2ab2bc2ca222,即abbcca.又abbcac,.