1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件命题导航考试要点命题预测(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.考向预测:(1)多与集合、函数、不等式、立体几何结合,考查充分必要条件的判定及四种命题的相互关系.(2)从生活问题的角度考查.2.学科素养:主要考查逻辑推理的核心素养.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:
2、(i)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若pq,且q/ p,则p是q的充分不必要条件.(3)若p/ q,且qp,则p是q的必要不充分条件.(4)若pq,则p是q的充要条件.(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.提醒不能将“若p,则q”与“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“pq”.知识拓展
3、(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)“x2-3x+2=0”是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.()(6)一个命题非真即假.()2.下列命题的逆命题为真命题的是() A.若x2,则(x-2)(x+1)0B.若x2+y24,则xy=2C.若
4、x+y=2,则xy1D.若ab,则ac2bc2答案B3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是()A.若q,则pB.若p,则q C.若q,则pD.若p,则q 答案C4.若xR,则“x1”是“1x1或xa,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.1,+)B.(-,1C.-3,+)D.(-,-3)答案A命题及其相互关系典例1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)给定下列命题:若k0,则方程x
5、2+2x-k=0有实数根;“若ab,则a+cb+c”的否命题;“矩形的对角线相等”的逆命题;“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的否命题;“若x2或y3,则x+y5”.其中真命题的序号是.答案(1)C(2)方法技巧1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写成“若p,则q ”的形式;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时须保留大前提.2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.3.当一个命题直接判断不易进行时,根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,可将命题转化为等价命题,再判断真假.
6、1-1命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是()A.若x21,则x1或x-1B.若-1x1,则x21或x1D.若x1或x-1,则x21答案D1-2下列命题中为真命题的是()A.命题“若xy,则x|y|”的逆命题B.命题“x1,则x21”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x20,则x1”的逆否命题答案A充分条件、必要条件的判断典例2(1)设xR,则“2-x0”是“|x-1|1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给定两个命题p,q,若p是q的必要不充分条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充
7、要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A方法技巧判断充要条件的常用方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把需判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.2-1已知p:x2-3x+20,q:1x2-5x+40,则p是q的条件;q是p的条件;p是q的条件.答案必要不充分;必要不充分;充分不必要2-2集合A=x|x1,B=x|x3m+1,则实数m的取值范围是()A.1,+)B.(1,+)C.(-,1)D.(-,1答案B3-2已知p:A=x|x
8、2-2x-30,q:B=x|x2-2mx+m2-40,mR.若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是.答案(-,-3)(5,+)解析易知A=x|-1x3,B=x|m-2xm+2,RB=x|xm+2.p是q的充分条件,ARB,m-23或m+25或m-3.1.命题“若xa2+b2,则x2ab”的逆命题是() A.若xa2+b2,则x2abB.若xa2+b2,则x2abC.若x2ab,则x3的一个充分不必要条件是()A.x2B.x4C.x4D.x2答案B3.下列说法正确的是()A.“x2”是“x4”是必要条件B.“xy=0”是“y=0”的充分条件C.“x=0”是“x2+y2=0”的必要条件D.“|x
9、|1”是“x0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题C.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n20,则m0或n0”答案B5.已知命题:如果x3,那么x0,-2x+a,x0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a0B.0a12C.12a1答案A8.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要条件是()A.k-22或k22B.k-22C.k2D.k-22或k2答案B若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx-y-3=0的距离d=|-3|k2+11,即k2+13,k2+19,即k28,k22或k-2
10、2,由选项知圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充分不必要的条件是k-22,故选B.9.已知条件p:|x-4|6;条件q:(x-1)2-m20(m0),若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.21,+)B.9,+)C.19,+)D.(0,+)答案B条件p:-2x10,条件q:1-mxm+1,又p是q的充分不必要条件,故有1-m-2,1+m10,m0,解得m9.10.已知命题“若ab,则ac20,则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数”是真命题;命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”;命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为
11、真命题;命题“若aM,则bM”与命题“若bM,则aM”等价.答案12.设有非空集合A、B、C,若“aA”的充要条件是“aB且aC”,则“aB”是“aA”的条件. 答案必要不充分13.若“x21”是“xa”的必要不充分条件,则a的最大值为.答案-114.已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“xP”是“xS”的必要条件,则m的取值范围是.答案0,3解析由x2-8x-200得-2x10,P=x|-2x10,由“xP”是“xS”的必要条件,知SP.又集合S非空,则1-m1+m,1-m-2,1+m10,0m3.当0m3时,“xP”是“xS”的必要条件.素养拓展15.王安石在
12、游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪、非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,则“有志”是到达“奇伟、瑰怪、非常之观”的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件答案D“非有志者不能至也”的等价说法是到达“奇伟、瑰怪、非常之观的人是有志的人”,因此“有志”是到达“奇伟、瑰怪、非常之观”的必要条件,但“有志”也不一定“能至”,故不是充分条件.16.已知集合A=x122x8,xR,B=x|-1xm+1,xR,若xB成立的一个充分不必要的条件是xA,则实数m的取值范围是.答案(2,+)解析A=x122x8,xR=x|-1x3,即m2.17.某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发现,当天正在放映A,B,C,D,E五部影片,于是他们商量一起看其中的一部影片.小赵说:只要不是B就行;小张说:B,C,D,E都行;小李说:我喜欢D,但是只要不是C就行;小刘说:除了E之外,其他的都可以.据此判断,他们四人可以共同看的影片为.答案D解析小赵可以看的电影的集合为A,C,D,E,小张可以看的电影的集合为B,C,D,E,小李可以看的电影的集合为A,B,D,E,小刘可以看的电影的集合为A,B,C,D,这四个集合的交集中只有元素D,故填D.
