1、第17课时圆 复 习 课 教学过程一、 数学应用例1(1) 已知点P(1, 1),圆O: (x-3)2+(y-4)2=4,点M是圆O上一个动点,求MP的最大值与最小值.(2) 已知直线l: x+y+1=0,圆O: (x-3)2+(y-4)2=4,若点P是直线l上的一个动点,求OP的最小值.(3) 已知直线l: 3x+4y+8=0,圆O: x2+y2-2x-2y+1=0,若点P, Q分别是圆O和直线l上的一个动点,求PQ的最小值.2处理建议由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验.这三个问题是圆中最基本的题型,往往会用到本题的思想解决其他系列问题.规范板书解
2、(1) 由题意,OP=,所以MPmax=+2, MPmin=-2.(2) 所求的是圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离.所以,OPmin=4.(3) 圆O: x2+y2-2x-2y+1=0的圆心O(1, 1),半径r=1.点O到直线l: 3x+4y+8=0的距离d=3,所以,PQmin=d-r=2.题后反思求圆与点、直线等图形的位置关系的题目,通常转化成点到点、直线的距离的问题.变式1若圆C: (x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+10所表示的平面区域内,则h的最小值为.处理建议要使得圆在这个区域内,只需要圆与直线x+y+1=0相离或相切,且在该直线上方.解圆心C(h, 1)到
3、直线x+y+1=0的距离为=.由1,得h-2或h-2(舍).所以h的最小值为-2.变式2已知直线l: x+y+1=0,圆O: (x-3)2+(y-4)2=4,若点P是直线l上的一个动点,过点P作圆的切线,切圆于点T,求PT的最小值.处理建议由于POT是直角三角形,则PT=,则PT最小时,OP最小,那么要求PT的最小值只需要求出OP的最小值即可.解OP的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离.所以OPmin=4,此时PT=2,即PT的最小值为2.变式3已知直线l:x+y+1=0,圆O:(x-3)2+(y-4)2=4,若点P是直线l上的一个动点,过点P作圆的两条切线,切圆于点T和S
4、,求TS的最小值.处理建议TS的值就是POT斜边上的高的2倍,TS=2OTsinPOT,要使TS最小,则使POT最小,则SPT最大,则此时OP最小.解OP的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离.所以OPmin=4,此时PT=2, sinPOT=,所以TS=2OTsinPOT=22=.即TS的最小值为.变式4已知直线l:x+y+1=0,圆O:(x-3)2+(y-4)2=4,若点P是直线l上的一个动点,过点P作圆的两条切线,切圆于点T和S,求四边形PTOS面积的最小值.处理建议画图分析这样的四边形有怎样的特征,即由两个全等的直角三角形拼成,故只需求出一个直角三角形面积即可,该方法
5、可以由学生归纳得出.解OP的最小值是指圆心到直线上动点的最小值,即圆心到直线的距离.所以OPmin=4,S四边形PTOS=2SPTO=PTTO=2PT=2=4,所以四边形PTOS面积的最小值为4.【例2】已知x, y满足方程(x-2)2+y2=1,求:(1) 的取值范围;(2) x2+y2的取值范围;(3) x+y的取值范围.3处理建议引导学生分析各式的特点,并联想与已学过的各种概念的联系.它们分别可以看成圆上一点到原点所连直线的斜率、圆上一点到原点距离的平方、线性规划.解(1) 可以看成圆上一点到原点所连直线的斜率,设=k,则y=kx,由得(1+k2)x2-4x+3=0, =16-12(1+
6、k2)0, -k,即-.(2) 因为圆(x-2)2+y2=1的圆心到原点的距离为2,所以圆上任一点到原点距离的最小值为2-1=1,最大值为2+1=3,所以1x2+y29.(3) 设x+y=z,则y=-x+z,由得2x2-(4+2z)x+z2+3=0, =(4+2z)2-8(z2+3)=-4z2+16z-80, 2-z2+.题后反思形如式子可以看成点(x, y)与点(a, b)连线的斜率;形如式子(x-a)2+(y-b)2可以看成点(x, y)到点(a, b)距离的平方;求ax+by的取值范围,可以看成求目标函数z=ax+by的范围.【例3】(1) 已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a0
7、)及直线l:x-y+3=0当直线l被圆C截得的弦长为2时,求a的值.(2) 求以圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦长.(3) 求直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角.4处理建议利用垂径定理解题,进一步熟悉它在直线和圆位置关系中的应用,同时让学生总结何时会用到这个定理.规范板书解(1) 因为弦心距=1,所以圆心(a, 2)到直线l:x-y+3=0得距离为1,即=1,所以a=+1或a=-+1(舍).(2) 圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的方程相减得两圆
8、的公共弦方程为4x+3y-2=0,圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0的圆心为(6, 1),半径为5,圆心为(6, 1)到直线4x+3y-2=0的距离为=5,所以弦长为2=10.(3) 弦心距为=,则圆心角一半的余弦为,即圆心角一半为,所以圆心角为.题后反思凡是与弦长、圆心角、弧长等有关词语出现时,一般都会和垂径定理有关,即圆的半径r,弦心距d(圆心到直线的距离),弦长l,满足关系r2=d2+.变式1已知方程:x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围.(2) 若(1)中的圆与直线x+y-4=0相交于M, N两点,且CMCN(C为圆心),求m.(3) 在(2
9、)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.处理建议抓住条件CMCN,画图感受图形的特殊性,找到解决问题的突破口.解(1) 由22+42-4m0,得m5.(2) CMCN, CMN为等腰直角三角形.则CM=CN=r, MN=r,圆心到MN的距离d为MN边上的高,即d=r.圆x2+y2-2x-4y+m=0的圆心为C (1, 2),半径r=(m5)因为圆心(1, 2)到直线x+y-4=0的距离为=,所以=, m=4.(3) MN为直径的圆的圆心为MN的中点,不妨设为P(a, 4-a). CPMN, kCP=1, =1,得a=, MN为直径的圆的圆心为,半径为MN=r=.所以MN为直径的圆的方程为:+=.
10、变式2已知圆C: x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1, 0)与圆C相交于P, Q两点,M是PQ中点,l与直线m: x+3y+6=0相交于N.(1) 求证:当l与m垂直时,l必过圆心C.(2) 当PQ=2时,求直线l的方程.(3) 探索是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.(图1)处理建议这是一个综合题型,考察对弦长的应用,可以检验学生对这一知识的掌握情况,问题(3)主要突出解析思想,考察学生的计算能力.解(1) 当l与m垂直时,l的方程可设为3x-y+n=0.因为直线l过A(-1, 0),所以n=3,直线l的方程为3x-y+3=0.则圆C的圆心为C (0,
11、 3)满足方程3x-y+3=0.所以l必过圆心C.(2) 当PQ=2时,弦心距为=1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.由=1,得k=,此时直线l的方程为4x-3y+4=0.所以直线l的方程为:x=-1或4x-3y+4=0.(3) 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,由得N,所以=,直线CM的方程为y=-x+3.由得M, =, =+=-5.经检验,当直线l的斜率不存在时,=-5.综上,与直线l的倾斜角无关,=-5.*【例4】如图2,已知圆O: x2+y2=
12、4与x轴交于A, B两点,定直线l:x=4,且直线lx轴.点P是圆O上异于A, B的任意一点,直线PA, PB分别交l与M, N点.(1) 若PAB=30(点P在x轴上方),求以MN为直径的圆方程.(2) 当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.5(图2)处理建议解决以MN为直径的圆方程的关键在于求出M, N点的坐标,告诉学生通过构造方程组计算是解决解析几何问题的一般方法.解由题意,A(-2, 0), B(2, 0).(1) 当PAB=30时,kAP=, kBP=-,则直线AP的方程为y=(x+2),与x=4的交点M(4, 2);直线BP的方程为y=-(x-2),与x=4的交点
13、N(4, -2). MN的中点坐标为(4, 0), MN=4. 以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2) 设kAP=k, kBP=-.则直线AP的方程为y=k(x+2),与x=4的交点M(4, 6k);直线BP的方程为y=-(x-2),与x=4的交点N. MN的中点坐标为, MN=2. 以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+=.即x2+y2-8x-2y+4=0.令y=0,则x2-8x+4=0,得x=42,点(4+2, 0)在圆外部,所以以MN为直径的圆必过圆O内的一定点(4-2, 0).二、 课堂练习1. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则
14、该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 解析由题意,设圆心(x0, 1), =1,解得x0=2或x0=-(舍), 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.2. 已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.解析圆C1: (x+1)2+(y-1)2=1的圆心为(-1, 1).圆C2的圆心设为(a, b), C1与C2关于直线x-y-1=0对称, 解得又圆C2的半径为1, 圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.3. 已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,
15、求该圆的方程.提示可用待定系数法求解.答案(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.4. 若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,求b的取值范围.提示用数形结合的思想,直线是斜率为1的动直线,曲线是一个半圆.答案1-2, 3. 三、 课堂小结1. 在直线与圆的位置关系中,当直线和圆相切时,利用圆心到直线的距离与半径相等这样的等量关系可以求某些变量的值.利用切点和圆心的连线垂直于切线的性质,求切线的方程、确定圆心的位置等.2. 求代数式的最值或取值范围时,通常分析代数式的几何意义,将问题转化为直线的某种特性或直线和圆的某种关系来解题.3. 用构造方程组的方法求交点是解析几何的基本思想,做题时要有耐心,更要细心.4. 解题时画出直观的图象,分析图形之间的特殊关系,列出等式,做到“图象先行”的原则.
