1、16.2线段的垂直平分线（1）教学目标【知识与能力】1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理.2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.【过程与方法】通过经历线段的垂直平分线的性质定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.【情感态度价值观】通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.教学重难点【教学重点】1.线段的垂直平分线的性质定理.2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.【教学难点】 灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使世界更加美丽,那么大家想一想,什么样的
2、图形是轴对称图形呢?生:如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.师:什么是线段的垂直平分线呢?学生思考抢答.师:很好,这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.设计意图通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.导入二:【课件1】如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,到A与B的距离,你有什么发现? 1.用平面图将上述问题进行转化,已知线段AB及AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3
3、,BP32.作好图后,用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3讨论发现什么样的规律.设计意图通过学生对图形的抽象、观察、测量发现线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一结论,从而为下面的进一步探究做好铺垫.二、新知构建：过渡语线段是最简单的轴对称图形,它的中垂线就是它的对称轴,本节我们将探究线段垂直平分线的重要性质和应用.活动一:一起探究线段垂直平分线的性质思路一【课件2】如图所示,已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足. 在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.学生猜想得出:事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l
4、是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.思路二教师指导学生画线段AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上确定几个点,让学生测量,思考有什么发现?【课件3】如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,到点A与点B的距离,你有什么发现? 由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范.命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,还得在理论上证明是正确的才能作为定理,我们来证明这个命题的正确性.请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出
5、已知、求证.已知:如图所示,线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB.求证PA=PB.引导学生利用SAS证明PAOPBO,从而得到PA=PB.证明:在PAO和PBO中,AO=BO,POA=POB=90,PO=PO,PAOPBO(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等).教师说明:经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的.因为点P是线段的垂直平分线上一点,所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.师:分析定理的条件和结论.点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB.(条件)(结论)知识拓展(1)线段垂直平分线的性质是线
6、段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.设计意图通过观察、猜想、证明让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度,进一步体会线段垂直平分线的性质定理.活动二:例题讲解过渡语了解了线段垂直平分线的性质定理,应用线段垂直平分线的性质定理可以解决一些问题.【课件4】已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点
7、,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点P,则AP+BP最短. 引导学生分析,证明.【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P.(2)在直线l上任取一个异于点P的点P,怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.学生小组内交流,教师指一名学生板演.解:点A和点A关于直线l对称,AP=AP.AP+BP=AP+BP=AB(等量代换),如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P,连接AP,B
8、P,AP,则AP+BPAB(两点之间线段最短). 即AP+BP=AP+BPAB=AP+BP.AP+BP最短.【课件5】已知:如图所示,D,E分别是AB,AC的中点,CDAB于点D,BEAC于点E. 求证AC=AB.分析:引导学生根据线段的垂直平分线的性质加以证明.证明:连接BC,因为点D,E分别是AB,AC的中点,CDAB,BEAC,所以CD,BE分别是AB,AC的垂直平分线,所以AC=BC,AB=CB,所以AC=AB.设计意图让学生明白,线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据,以后证明两条线段相等,又多了一个好办法线段垂直平分线的性质定理,且比用三角形全等更简便.三、课堂小结：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.- 5 -
