1、江西省宜春中学2011届高三考前模拟考试（数学理）2011.6.1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 复数满足方程：（i是虚数单位）则= ( ) A B C D来源:2已知全集为实数集R，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A B C D 3下列有关命题的说法正确的个数是（ ）（1）命题“存在实数x，使得”的否定是：“对任意实数，均有”.（2）己知、为平面上两个不共线的向量，p：|+ 2|=|2|； q: ，则p是q的充要条件.来源:（3）命题“”的逆否命题是真命题.（4）若“”是假命题，则“”一定是真命题.A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个4在棱长为1的正方体内随机取一
2、点，则点到点的距离大于1的概率为（ ）A B C D 5. 已知变量x, y满足约束条件，若目标函数仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围是（ ）A B C D6.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A B C D 7 . 图象如图所示，设P是图象的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则（ ）A. 10 B. 8 C. D. 8函数在上是单调递增，若，则的取值范围是( )A B C D9某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i=1
3、,2，3，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有 （ ）A25种B24种C36种D31种10已知点F为抛物线y 2 8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为 （ ）A. 6 B. C. D.42二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若二项式的展开式中二项式系数和是在64，且，则展开式中的常数为_。（用数值作答）12一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15相距20里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60处，
4、则货轮的航行速度为 里/小时13. 已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如下图所示,其四边形ABCD是边长为2 cm的正方形,则这个正四面体的主视图的面积为_cm2. 14.定义某种运算，S=ab的运算原理如右框图所示。设f(x)=(0x)x-(2x)，则f(x)在区间-2，2上的最小值为_.15.本题共2小题，任选作1小题. 若2小题都做了，则按A题给分，共5分（A题）已知曲线的极坐标方程为：，曲线C上的任意一个点P的直角坐标为，则的取值范围为 _.（B题）对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是_.三解答题：本大题共6小题，共75分。其中(16)(19)每小题12分,(2
5、0)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16. 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为、，且.(I)求角A大小及角B取值范围。 (II)当时，求的取值范围.17. 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。（）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非
6、高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。18. 如图，四棱锥中，底面是的菱形， 侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直， 为的中点.()求证：平面；()求二面角的余弦值. 19设数列的前n项和为，为常数，则称数列为“科比数列”。 （）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式； （）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意 都立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。20. 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距
7、离为，到点的距离为，且()求动点P所在曲线C的方程；()直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；()记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21. 对于函数定义域内的任意x，存在常数a，b（），使得 恒成立，则函数的图象关于点P（a，b）对称， 已知函数（I）求证：存在定点M，使得函数图象关于点M对称，并求出点M的坐标；（II）定义，求的表达式，并求除以31的余数；（III）对于（II）中的求证：对于任意都
8、有 .宜春中学2011届高三模拟考试理科数学答案一CDCCB DBAAC二11_240_; 12_; 13_; 14._; 15. (A)_; (B)_. 16解：（I）由题意得，从而. 又已知，所以. 3分由，得，.由.6分 (II) 由 .10分， 12分17解：（）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人3分则至少有一名“高个子”被选中的概率为 6分 （）依题意，的取值为7分， ， 9分因此，的分布列如下：10分 12分 18方法一： ()取CD的中点O，的中点，连接，ON，PO。在菱形中，
9、由于ADC=60，为正三角形，则AOCD，又POCD, 故CD平面APO, 从而CDPA. 又 , 则四边形为平行四边形，所以. 在APO中，AO=PO,ONAP, 故APMC, 所以PA平面MCD。6分()由()知 MC平面PAB，则NMB为二面角D-MC-B的平面角， 在RtPAB中，易得 ,从而, 故所求二面角的余弦值为.12分方法二：由底面ABCD为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC 分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图， 则。 () 由M为PB中点，,PADM，PADC PA平面DMC6分(),设平面BMC的法向量，则由可得由可得，取。
10、所以可取。由()知平面CDM的法向量可取9分。又易知二面角为钝二面角.二面角的余弦值为1219解：（）设等差数列的公差为，因为，则，即 整理得 2分因为对任意正整数上式恒成立，则，解得4分故数列的通项公式是 5分 （） 由已知，当时，因为，所以 当时，两式相减，得因为，所以= 8分 显然适合上式，所以当时，于是因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列10分所以不为常数，故数列不是“科比数列” 12分20解() 设动点为， 据题意，有， 1分化简 因此，动点P所在曲线C的方程是：3分() 点F在以MN为直径的圆的外部4分理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：， 联立方程组，可化为，则点的坐标满足6分又、，可得点、因，则= 7分于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部8分()依据(2)可算出，则 ，10分12分所以， 即存在实数使得结论成立. 13分21解：（I）设，则由（常数）对任意x恒成立，则，解得，所以，存在定点，使得函数图像关于点对称。4分（II）由（I）得，5分又得+得 ，所以 ，7分，从而可知除以31的余数为1.9分（III）当时，由（II）知：，故要证：对于任意都有则只需证：对于任意都有10分构造函数,则显然：在上恒成立，所以在为增函数，且所以：，即在上恒成立，取，则有：所以原不等式得证。14分
