1、辽宁省沈阳市2020届高三数学三模考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根据子集的判定可得结果.【详解】由题意知：，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.2.复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出复数，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知，所以，故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题.3.已知抛物线x22py上一点A（m，1）到其焦
2、点的距离为3，则p（ ）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，转化求解即可【详解】解：抛物线x22py的准线方程为y，抛物线上一点到其焦点的距离为3，可得1，解得p4故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义及标准方程，考查计算求解能力，属于基础题.4.九章算术中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a15，b12，i0，则输出的结果为（ ）A. a4，i4B. a4，i5C. a3，i4D. a3，i5【答案】D【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前a，b，i
3、的值，即可得到结论【详解】解：模拟执行程序框图，输入a15，b12，i0，i0+11，ab，a15123，i1+12，ab，b1239，i2+13，ab，b936，i3+14，ab，b633，i4+15，ab3，输出a3，i5，故选：D【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.5.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比的近似值,黄金分割比还可以表示成,则( ).A. 4B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】把代入中，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值.【详解】
4、解：由题可知，所以.则.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，是基础题6.已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，是一个三棱锥体S-ABO和一个圆锥组成的几何体，然后再求几何体的侧面积【详解】由几何体的三视图转换为直观图为：由一个三棱锥体S-ABO和一个圆锥组成的几何体如图所示：所以该几何体的侧面积为S侧.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体以及几何体侧面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题
5、.7.设函数f（x）cos2x+bsinx，则“b0”是“f（x）的最小正周期为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和四个条件的应用求出结果【详解】当时，函数，所以函数的最小正周期为，当时，函数的最小正周期为和2的最小公倍数，即为2，当函数的最小正周期为时，可得，故函数，则“”是“f（x）的最小正周期为”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是三角函数的性质和充要条件的判定，属于基础题.8.2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成
6、的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可【详解】事件A“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B“小组甲独自去一个国家”，则P（AB），P（B），P（A|B），故选：A【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档
7、题9.已知为的外接圆的圆心，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法则确定的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法则求得的值即可确定的值.【详解】由题意可得：，且，AOB=90. 如图所示，建立平面直角坐标系，设，由可知：，则：，则.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.我们打印用的A4纸的长与宽的比约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为，纸张的形状不变已知圆柱的母线长小于底面圆
8、的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设CD的中点为O，过E作EF底面O，连接OE，OF，证明ODOE，计算tanEDO即可得出答案【详解】AB/CD，EDC（或补角）为异面直线DE与AB所成的角，设CD的中点为O，过E作EF底面O，连接OE，OF，E是的中点，F是的中点，CDOF，又EF平面O，EFCD，CD平面OEF，ODOE设AD1，则CD，故OF，EF1，于是OE，tanEDO，EDO故选：C【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解题的关键是找出与异面直
9、线所成角相等的相交直线所成的角，此题要求有一定的计算能力，属于中档题.11.已知x与y之间的几组数据如表：x1234y1mn4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为，对应的相关系数分别为，下列结论中错误的是（ ）参考公式：线性回归方程中，其中，相关系数A. 三条回归直线有共同交点B. 相关系数中，最大C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，分别取m与n的值，根据公式计算出b1，a1，b2，a2，r1，r2，r3的值，逐一分析四个选项可得答案【详解】由样本的中心点相同，故A正确；由题意，即若，则，此时，则，；若，则，
10、此时，则，；若，则，此时，由以上计算可得，相关系数中，最大，故B，C正确，D错误故选：D【点睛】本题考查的是线性回归方程的计算和相关系数的计算，解答本题的关键是学生的计算能力，属于基础题.12.已知函数，过点的直线与的图象有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的斜率为，方程为，由题意可得有三个不等的实根，显然是其中的一个根，则有两个不等的实根，且，由判别式大于，可得所求范围【详解】函数，可得，设直线l的斜率为，方程为，由题意可得有三个不等的实根，显然是其中的一个根，则有两个不等的实根，且，即，由的，可得，解得，则的范围是.故选：B
11、【点睛】本小题主要考查根据方程的根、函数图象的交点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知是常数，且，则_【答案】3【解析】【分析】在已知二项式中分别取和，联立即可求得m值【详解】在中，取，得，取，得，所以，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，对恰当的赋值是解题的关键，属于基础题.14.已知，若，则_【答案】【解析】【分析】由已知可得f（x）为奇函数，结合奇函数的定义可求【详解】，即f（x）为奇函数，则故答案为：【点睛】本题主要考查奇函数的定义，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线的右焦点，直
12、线y2b与双曲线交于B，C两点，且BFC90，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题可知，F（c，0），把y2b代入双曲线方程可得B,C坐标，因BFC90，所以kBFkCF1，化简得4b25a2c2，然后结合b2c2a2，计算即可得解【详解】解：由题意可知，F（c，0），把y2b代入双曲线方程可得，不妨设B（），C（），因为BFC90，所以kBFkCF1，即，化简得4b25a2c2，因为b2c2a2，所以，所以离心率故答案为：【点睛】本题考查直线和双曲线位置关系，考查双曲线的离心率问题，考查学生计算求解能力，属于中档题.16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC
13、的面积为S，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由可得，然后，然后，即可得到答案.【详解】ABC中，所以；所以，当且仅当即时等号成立，因所以当时取得最大值，故答案为：【点睛】本题考查的是正余弦定理、三角形的面积公式、平面向量的数量积的定义及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22-23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.已知数列an的前n项和Snn2+pn，且a4，a7，a12成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前
14、n项和Tn【答案】（1）an2n+1，nN*（2）Tn【解析】【分析】（1）根据公式an，初步计算出数列an的含有参数p的通项公式，然后将a4，a7，a12代入通项公式，并根据等比中项的性质列出关于p的方程，解出p的值，即可得到数列an的通项公式.（2）根据第（1）题的结果计算出Sn的表达式，以及数列bn的通项公式，然后将通项公式进行转化，最后运用裂项相消法可计算出前n项和Tn【详解】解：（1）由题意，当n1时，a1S11+p，当n2时，anSnSn1n2+pn（n1）2p（n1）2n1+p，当n1时，a11+p也满足上式，an2n1+p，a4，a7，a12成等比数列，解得p2，an2n+1，
15、nN*（2）由（1）知，Snn2+2n，则 11，Tnb1+b2+bn+ n（） 【点睛】本题考查了由Sn求、数列求和中的裂项求和法，属于中档题.18.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：送餐距离（千米）（0，1（1，2（2，3（3，4（4，5频数1525252015以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率（1）若某送餐员一天送
16、餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数，且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望【答案】（1）41份（2）见解析，6.15【解析】【分析】（1）利用频率分布表，计算每名外卖用户的平均送餐距离然后求解送餐份数（2）由题意知X的可能取值为：3，7，12，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【详解】解：（1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为：0.50.
17、15+1.50.25+2.50.25+3.50.2+4.50.152.45千米所以送餐距离为100千米时，送餐份数为：份；（2）由题意知X的可能取值为：3，7，12，所以X的分布列为：X3712P【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了考生的分析能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ADPD，点F为棱PD的中点（1）在棱BC上是否存在一点E，使得CF平面PAE，并说明理由；（2）若ACPB，二面角DFCB的余弦值为时，求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值【答案】（1）存在，见解析（2）【解析】【分析】（1）取点E为棱B
18、C的中点，取PA的中点Q，连结EQ、FQ，利用已知结合三角形中位线定理可证四边形CEQF为平行四边形，得到CFEQ，再由直线与平面平行的判定得CF平面PAE；（2）取AB中点M，以D为坐标原点，分别以DM，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设FDa，利用平面FBC与平面DFC的所成角的余弦值求得a，可得平面BCF的一个法向量及的坐标再由两向量所成角的余弦值可得FA与平面BCF所成的角的正弦值.【详解】（1）在棱BC上存在点E，使得CF平面PAE，点E为棱BC的中点.证明：取PA的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQAD且，CEAD且，故CEFQ且CEFQ.四边形CEQF为平行
19、四边形.CFEQ，又平面PAE，在平面PAE内，CF平面PAE；（2）取AB中点M，以D为坐标原点，分别以DM，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设FDa，则D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），A（）.，.设平面FBC的一个法向量为.由，取x1，得；取平面DFC的一个法向量为.由题意，解得a.设直线AF与平面BCF所成的角为，则.即直线AF与平面BCF所成的角的正弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，利用向量法解决直线与平面所成角的问题，属于中档题.20.已知椭圆，四点，中恰有三个点在椭圆C上，左、右焦点分别为F1、F2（1）求椭圆C
20、的方程；（2）过左焦点F1且不平行坐标轴的直线l交椭圆于P、Q两点，若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x3于点M，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的对称性可得P2，P3，P4在椭圆上，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得F1的坐标，由题意设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出PQ的中点N的坐标，再由直线ON与x3，求出M的坐标，进而求出的表达式，换元由二次函数配方可得其最大值【详解】解：（1）由椭圆的对称性易知，关于y轴对称，一定都在椭圆上所以一定不在椭圆上根据题意也在椭圆上，将，带入椭圆方程，解得椭圆方程为；（2）设直线l方程为yk（x+
21、2）（k0），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（3k2+1）x2+12k2x+12k260；则 24（k2+1）0，且，设PQ的中点N（x0，y0），则，N坐标为，；因此直线ON的方程为，从而点M为，又F1（2，0），所以，令u3k2+11，则，因此当u4，即k1时h（u）最大值3所以取得最大值【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的最值问题，考查了考生的计算能力，属于难题.21.已知函数在处取到极值为（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）【解析】【分析】（1）求出函数
22、的导数，结合题意得到关于a，b的方程，求出a，b的值，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于在上恒成立，令，则只需即可，根据函数的单调性判断求解即可【详解】解：（1）由已知定义域为，由，又，得，所以，所以，又由得：x2；由得：x0或0x2故f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是.（2）问题等价于在x上恒成立，令，则只需即可，令，则所以上单调递增，又，所以有唯一的零点，在上单调递减，在上单调递增因为，两边同时取自然对数，则有，即构造函数，则，所以函数在上单调递增，又，所以，即所以，即，于是实数k的取值范围是【点睛】考查求含参数的函数的单调性以及不等式恒成立求参数的取值范围，后一个问题一般是分
23、离参数，转化为求函数的最值，不过构造函数是难点；本题是难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分选修4-4坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为sin2（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）曲线C2上两点与点B（2，），求OAB面积的最大值【答案】（1）x2+（y1）21（y0）（2）【解析】【分析】（1）设出的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为;（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，
24、然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.【详解】解：（1）设P的极坐标为（，）（0），M的极坐标为（0，）（00）由题设知|PO|，由4，得，所以C2的极坐标方程2sin（0），因此C2的直角坐标方程为x2+（y1）21（y0）（2）依题意：，|OB|22sin于是OAB面积：S当时，S取得最大值所以OAB面积的最大值为【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.选修4-5
25、：不等式选讲23.已知a，b，c均为正数，设函数f（x）|xb|x+c|+a，xR（1）若a2b2c2，求不等式f（x）3的解集；（2）若函数f（x）的最大值为1，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a2b2c2时，将不等式f（x）3化为|x1|x+1|1，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件利用绝对值三角不等式，可得a+b+c1，然后利用柯西不等式，即可证明【详解】（1）当a2b2c2时，a2，bc1不等式f（x）3化为|x1|x+1|1，当x1时，原不等式化为1x+1+x1，解集为；当1x1时，原不等式化为1xx11，解得；当x1时，原不等式化为x1x11，解得x1，不等式f（x）3的解集为（2）又a，b，c0， 当且仅当，即时等号成立，【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，柯西不等式的应用，属于中档题.
