1、第三章空间向量与立体几何2空间向量与向量运算2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c答案A解析由题意,BM=BC+CC1+C1M=BC+CC1+12C1A1=BC+CC1-12(AB+BC)=-12AB+12BC+CC1=-12a+12b+c.故选A.2.已知三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,则AE-12(AC+AD)=(
2、)A.BDB.DBC.12BDD.12DB答案D解析如图,取CD的中点F,连接AF,EF,三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AE-12(AC+AD)=AE-AF=FE=12DB.故选D.3.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3答案B解析由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,2k-12=0,k=6.4.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)(AB-AC)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角
3、三角形D.等边三角形答案B解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)(AB-AC)=(AB+AC)(AB-AC)=AB2-AC2=0,所以|AB|=|AC|,因此ABC是等腰三角形.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1BB1C=.答案a2解析A1BB1C=A1BA1D=|A1B|A1D|cos=2a2acos60=a2.6.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,mn,则=.答案-32解析由mn得mn=0.mn=(a+b)(a+b)=a2+(+1)ab+b2=18+(+1)122-22+16=
4、6+4=0,=-32.7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13,设AB=a,AC=b,AD=c,试用a,b,c表示BG,BN.解BG=BM+MG=BM-14AM=BM-14(AB+BM)=34BM-14a=342312(BC+BD)-14a=14(b-a+c-a)-14a=-34a+14b+14c;BN=AN-AB=2312(AC+AD)-AB=13b+13c-a.8.在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,求OA与BC所成角的余弦值.解因为BC=AC-AB,所以OABC=OAAC-
5、OAAB=|OA|AC|cos-|OA|AB|cos=84cos135-86cos120=-162+24,所以cos=OABC|OA|BC|=24-16285=3-225,即OA与BC所成角的余弦值为3-225.等级考提升练9.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则AB+12(BD+BC)等于()A.ANB.CNC.BCD.12BC答案A解析AB+12(BD+BC)=AB+12BD+12BC=AB+MN+BM=AN,故选A.10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.空间四边形C.等腰
6、梯形D.矩形答案A解析由AO+OB=AB=DO+OC=DC,得AB=DC,故四边形ABCD为平行四边形,故选A.11.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60,其模都为1,则|a-b+2c|等于()A.5B.5C.6D.6答案A解析|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc=5.|a-b+2c|=5.12.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=2,且a与2b-a互相垂直,则=()A.30B.45C.60D.90答案B解析a(2b-a)=2ab-a2=2|a|b|cos-|a|2=42cos-4=0.cos=22,又0,180,=45.13.(多选题)在正方体ABCD-
7、A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有()A.(AA1+AD+AB)2=3AB2B.A1C(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60D.正方体的体积为|ABAA1AD|答案AB解析如图所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2;A1C(A1B1-A1A)=A1CAB1=0;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60,故AD1与A1B的夹角为120;正方体的体积为|AB|AA1|AD|.故A,B正确.14.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,则x的值为.答案
8、13解析点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13OC,x+13+13=1,解得x=13.15.设向量a与b互相垂直,向量c与它们的夹角都是60,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)(3b-2a)=.答案-62解析(a+3c)(3b-2a)=3ab-2|a|2+9bc-6ac=-225+93812-65812=-62.16.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN.解MN=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-AC)=-13AB+13AD+23AC,MNMN=-
9、13AB+13AD+23AC-13AB+13AD+23AC=19AB2+19AD2+49AC2-29ABAD-49ABAC+49ADAC=69a2-29a2cos60-49a2cos60+49a2cos60=59a2,故|MN|=MNMN=53a,即MN=53a.新情境创新练17.如图,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.(1)证明设CA=a,CB=b,CC=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且ab=bc=ca=0.CE=b+12c,AD=-c+12b-12a.CEAD=b+12c-c+12b-12a=-12c2+12b2=0,CEAD,即CEAD.(2)解AC=-a+c,|AC|=2|a|,|CE|=52|a|.ACCE=(-a+c)b+12c=12c2=12|a|2,cos=12|a|2252|a|2=1010.异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.
