1、第6课时空间两条直线的位置关系(1) 教学过程一、 问题情境数学实验:研究问题导引1(方法:学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆)二、 数学建构问题1回答问题导引1的问题?并观察,空间两条直线的位置关系有哪些?教室内有哪些直线的实例?它们有什么位置关系?(学生探讨)归纳得空间两条直线的位置关系有以下三种:位置关系共面情况公共点个数相交直线同一平面内1平行直线同一平面内0异面直线不同在任何一个平面内0可以从两个方面,即是否有公共点和是否共面的角度加以分类,加深认识.问题2问题导引2如何解决?(自然引出公理4)在平面几何中,同一平面内的三条直线a, b, c,如果ab且bc,那么ac,这个性质在空
2、间是否成立呢?观察下面的长方体和圆柱:(图2)(图3)归纳小结:公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:ac.思考经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行?(1条)(求证:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.已知:点Pa.求证:过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条.证明 Pa, 点P和直线a确定平面.在平面内过点P作直线b与直线a平行(由平面几何知识).假设过点P还有一条直线c与直线a平行,则 ab, ac, bc,这与b, c共点P矛盾. 直线b唯一. 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行)三、 数学运用【例1】(教材P26例1)如图4,在长方体ABCD-A1B
3、1C1D1中,已知E, F分别是AB, BC的中点.求证:EFA1C1.(图4)证明连结AC.在ABC中,E, F分别是AB, BC的中点,所以EFAC.又因为AA1BB1且AA1=BB1, BB1CC1且BB1=CC1,所以AA1CC1且AA1=CC1,即四边形AA1C1C是平行四边形.所以ACA1C1,从而EFA1C1.(图5)问题1在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗?引导学生观察图4中的BEF和B1A1C1的关系归纳:定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.(1) 要求画出图形并写出
4、已知、求证.已知:如图5所示,BAC和B1A1C1的边ABA1B1, ACA1C1,且射线AB与A1B1同向,射线AC与A1C1同向,求证:BAC=B1A1C1.对于BAC和B1A1C1在同一个平面内的情形,在初中几何中已经证明,下面证明两个角不在同一平面内的情形.分别在BAC的两边和B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.因为,ADA1D1,所以AA1D1D是平行四边形,所以AA1DD1.同理可得AA1EE1,所以DD1E1E是平行四边形.在ADE和A1D1E1中,AD=A1D1, AE=A1E1, DE=D1E
5、1,于是ADEA1D1E1,所以BAC=B1A1C1.思考如果BAC和B1A1C1的边ABA1B1, ACA1C1,且AB, A1B1方向相同,而边AD, A1D1方向相反,那么BAC和B1A1C1之间有何关系?为什么?(引导学生用四支笔摆放,发现它们相等或互补)【例2】如图6,空间四边形ABCD中,E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.(图6)证明连结BD. EH是ABD的中位线, EHBD, EH=BD.同理,FGBD, FG=BD. EHFG,且EH=FG, 四边形EFGH为平行四边形.题后反思证明两条直线平行的方法: 平行直线的
6、定义:在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线. 利用三角形中位线平行于底边这一性质. 利用公理4. 利用平行四边形对边互相平行的性质.变式如图6所示,已知E, F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G, H分别是CD与AD上靠近点D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.【例3】已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M, N分别是棱CD, AD的中点.求证:(1) 四边形MNA1C1是梯形.(2) DNM=D1A1C1.规范板书证明(1) 如图7,连结AC.在ACD中,(图7) M, N分别是CD, AD的中点, MN是DAC的中位线, MNAC, MN=AC.由正方体
7、的性质得:ACA1C1, AC=A1C1. MNA1C1,且MN=A1C1,即MNA1C1, 四边形MNA1C1是梯形.(2) 由(1)可知MNA1C1,又因为NDA1D1, DNM与D1A1C1相等或互补.而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角, DNM=D1A1C1.*【例4】如图8,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E, B, F, D1四点共面.(图8)证明在DD1上取一点N,使得DN=1,连结CN, EN.显然四边形CFD1N是平行四边形,所以D1FCN.同理四边形DNEA是平行四边形,所以ENAD,且EN
8、=AD.又BCAD,且AD=BC,所以ENBC, EN=BC,所以四边形CNEB是平行四边形,所以CNBE.所以D1FBE,所以E, B, F, D1四点共面.四、 课堂练习1. 若空间两条直线a, b没有公共点,则其位置关系是平行或异面.2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.(1) 直线A1B与直线D1C的位置关系是平行.(2) 直线A1B与直线B1C的位置关系是异面.(3) 直线D1D与直线D1C的位置关系是相交.(4) 直线AB与直线B1C的位置关系是异面.(第2题)(第4题)3. 已知a, b, c是三条直线,若a与b异面,b与c异面,则a与c的位置关系是平行或相交或异面.4. 如图,P是ABC所在平面外一点,点D, E分别是PAB和PBC的重心,求证:DEAC, DE=AC.证明连结PD, PE,并延长分别交AB, BC于点M, N. 点D, E分别是PAB, PBC的重心, M, N分别是AB, BC的中点.连结MN,则MNAC,且MN=AC.在PMN中, =, DEMN,且DE=MN.由根据公理4,得DEAC,且DE=MN=AC.五、 课堂小结1. 空间两条直线的位置关系.2. 公理4和等角定理.3. 公理4和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间;等角定理是通过构造全等三角形来证明的,这个过程就是一个平面化的过程.
