1、28.4垂径定理教学目标【知识与能力】.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.【过程与方法】1.通过探索垂径定理的过程,培养学生动手实践、观察分析、逻辑思维和归纳概括的能力.2.让学生经历“实验观察猜想验证归纳”的探究过程,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.通过本节课的学习,发展学生的数学思维,让学生体验数学来源于生活又应用于生活.【情感态度价值观】1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从
2、数学学习活动中获得成功的体验.3.经历将已学知识应用到未学知识的探索过程,激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重难点【教学重点】垂径定理及其应用.【教学难点】 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:导入语这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥(如图所示).因它位于现在的历史文化名城河北省赵县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥,被誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧.【课件展示】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳
3、和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)过渡语要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将能解决这类和圆有关的实际问题.导入二:复习提问:1.什么是轴对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的?(教师引导折叠课前准备的圆形纸片)4.直径是圆的对称轴正确吗?【师生活动】学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意
4、一条过圆心的直线(或直径所在的直线).设计意图通过生活实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生学习兴趣,探索圆的对称性,引出本节内容,为本节课的学习做好铺垫.二、新知构建：过渡语我们知道了圆是轴对称图形,利用圆的轴对称性,我们还可以发现圆的一些性质.一、垂径定理思路一教师引导操作、思考、回答:在自己课前准备的纸片上作图:1.任意作一条弦AB.2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么
5、?你能写出你的证明过程吗?6.你能用语言叙述这个命题吗?7.你得到的结论怎样用几何语言表示?【师生活动】学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论.【课件展示】如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.求证AE=BE,AD=BD,AC=BC.证明:如图所示,连接OA,OB.在OAB中,OA=OB,OEAB,AE=BE,AOE=BOE.AD=BD.AOC=180-AOE,BOC=180-BOE,AOC=BO
6、C.AC=BC.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:如上图所示,在O中,CD为直径,CDAB,AE=BE,AD=BD,AC=BC.思路二【课件展示】如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.教师引导:1.动手操作:将图画在课前准备的圆形纸片上,将O沿CD所在的直线对折,哪些线段重合?哪些弧重合?(AE与BE,AD与BD,AC与BC)2.由此你能得出什么结论?尝试说出你的猜想.(通过探究,我们发现:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧)3.你能证明你得到的结论吗?【师生活动】学生在教师的引导下完成画图、折叠、观察、归纳、猜
7、想,学生独立思考证明思路后,小组合作交流,小组代表板书证明过程,教师点评,规范书写格式,师生共同回忆归纳结论.【课件展示】如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.求证AE=BE,AD=BD,AC=BC.证明过程同思路一.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:如上图所示,在O中,CD为直径,CDAB,AE=BE,AD=BD,AC=BC.设计意图通过学生动手操作、观察、分析、交流,教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质,经历知识的形成过程,培养学生观察能力和归纳概括能力,提高分析问题、解决问题的能力,同时感受圆的对称美.二、垂径定理的推论【课件
8、展示】如图所示,在O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,独立书写解答过程,小组代表展示,教师对学生的展示点评,规范书写格式.解:(1)CDAB,AD=BD(或AC=BC).理由是:连接OA,OB,如图所示,则OAB是等腰三角形,AE=BE,CDAB.由垂径定理可得AD=BD,AC=BC.(2)CDAB,AE=BE.理由是:连接OA,OB,如图所示,AD=BD,
9、AOD=BOD,又OA=OB,OE=OE,AEOBEO,AEO=BEO,AE=BE,CDAB.追加思考:(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?【师生活动】师生共同分析解答,通过追加思考,师生共同归纳结论.【课件展示】在O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CDAB,AD=BD中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.设计意图通过教师提出的问题,学生合作交流,共同分析解答,提高学生合作意识,加深对垂径定理的理解和记忆,通过追加思考,师生共同分析得出垂径定理中五个
10、条件:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧中,以其中两个为条件,可以得到其他三个结论.三、例题讲解过渡语我们学习了垂径定理及推论,就可以解决一些圆中的计算问题.【课件展示】(教材164页例)如图所示,已知CD为O的直径,AB为弦,且ABCD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.教师引导思考:1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形)2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长)3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解)
11、【师生活动】教师引导,师生共同完成思考分析,学生小组合作交流解题思路,书写解题过程,小组代表板书,教师点评,规范解答格式.【课件展示】解:如图所示,连接OA.设O的半径为r.CD为O的直径,ABCD,AE=BE.AB=8,AE=BE=4.在RtOAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.设计意图以问题的形式,教师引导,师生共同分析解决,降低了例题的难度,体会方程思想在数学中的应用,同时掌握一类题型的解题方法,应用垂径定理计算时,常作辅助线构造直角三角形,体会数形结合思想在解题中的应用,提高学生分析问题的能力
12、.过渡语经过这节课的学习,让我们看看能不能解决课前导入中的实际问题吧.【课件展示】(课前导入一)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)【师生活动】教师引导学生画出对应的几何图形,根据所画图形,学生独立完成解答过程,小组合作交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,教师展示课件,规范解答格式.【课件展示】解:如图所示,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线O
13、C,D为垂足,OC与AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D为AB的中点,C为AB的中点,CD就是拱高.由题设可知,AB=37.4m,CD=7.2m,所以AD=12AB=1237.4=18.7(m),OD=OC-CD=R-7.2(m).在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R27.9(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.【思考】1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?【师生活动】学生思考回答后,教师归纳总结.在圆中解决有关弦的问题时,常常过圆心作弦的垂线段(弦心距),通过作辅助线
14、,把垂径定理和勾股定理结合,得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:r2=d2+a22.设计意图教师引导学生在实际问题中画出符合题意的几何图形,建立数学模型,根据垂径定理和勾股定理列方程求解所在圆的半径,让学生体会数学来源于生活,又应用于生活中,提高学生分析问题、解决问题的能力,同时在整个教学设计中达到首尾呼应,增强学生应用意识.知识拓展1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.综上所述,可以知道在过
15、圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的劣弧,平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.三、课堂小结：1.垂径定理和推论及它们的应用.2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题.3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.
