1、安徽省涡阳第中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题（共60分）1复数z=1+6i的虛部是（）A. i B.6i C.1 D.62.在ABC中，a=1，C=60， 若c=，则A的值为（）A.30或150 B.30 C.60或 120 D.603.若平面和直线a，b满足a=A，则a与b的位置关系一定是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面4.在ABC中，C=90， 则与的夹角是（）A.30 B.60 C.120 D.1505.若在复平面内，复数3-2i、1-2i、2+i所对应的点分别为A，B，C，则ABC的面积为（）A.6 B.4 C.3 D. 26.已知D， E
2、分别是ABC的边AB，AC的中点，则= （）A. B. C. D. 7.如图所示，正方体的面A1C1， B1C， CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线AO与直线O2O3所成的角为（）A.90 B.60 C.45 D.308. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60，b=1， 该三角形的面积为，则的值为（）A. B. C. D. 9.在三棱锥P- ABC中，平面PAB平面ABC，ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=， 则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. 16 C. D. 10.在直角ABC中，BCA=90，CA=CB=1，P为AB边上的点，若，则入的取值范围是
3、（）A. B. 0.1 C. D. 11. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，且，点O满足，则ABC的面积为（）A. B. C. D. 12.平面过正方体的顶点A， /平面CB1D1，平面ABCD= m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）A. B. C. D. 二、填空题（共20分）13已知复数z满足（1+i）z=1-i （i为虚数单位），=_ 。14.已知向量，。若， 则= 。15. 如图，四边形ABCD中，ABD、BCD分别是以AD， BD为底的等腰三角形，其中AD=1， BC=4，ADB=CDB，则AC= 。16.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，B
4、C=2，BE/ CD，且CD平面ABC，若BDAE则BE+CD的最小值为_ 。三、解答题（共70分）17. （本题10分）已知复数z=（m2-m）+（m+3）i （mR）在复平面内对应点Z.（1）若m=2，求；（2）若点Z在直线y=x上，求m的值.18. （本题12分）已知，aR .（1）若向量，求的值（2）若向量，证明19. （本题12分）如图所示，正三棱柱的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.（1）证明 DE/平面ACC1A1；（2）若三棱锥E- DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.20.（本题12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。（1）求cosB；
5、（2）若a+c=6，ABC面积为2，求b.21. （本题12分）在四棱锥P- ABCD中，ABC= ACD= 90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=24B=4.（1）求证 EM /平面PAC；（2）取PC中点F ，证明 PC平面AEF ；（3）求点D到平面ACE的距离.22. （本题12分）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？（2）求
6、划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？涡阳第一高中2020级高一下学期期末考试数学答案1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. A 9. A 10. C 11. D 12. A13. 1 14. 10 15. 16. 17. （1） 29 ； （2） m=-1或m=3.解（1）m=2， z=2+5i，；（2）若点Z在直线y=x上，则m2 -m=m+3，即m2- 2m-3=0，解得m=-1或m=3.18. （1） （2）详见解析.解 （1）因为
7、所以所以（2）因为所以所以19. （1）详见解析； （2） 1.详解解 （1） 如图，连接AB1， AC1，D是A1B的中点，E是B1C1的中点，在B1AC1中，DE/ AC1，DE平面ACC1A1， AC1平面ACC1A1，DE/平面ACC1A1.（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBCD是A1B的中点，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半. .如图，作AF.BC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF平面BCC1B1.设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，解得a=1该正三棱柱的底面边长为1.20. （1）；（2） 2.解 （1），；（2）由（1）
8、可知 ，. b=2.21. （1）见解析； （2） 见解析； （3）解（1）因为E为PD的中点，M为AD的中点，则在PAD中，EM/A，又因为PA平面PAC， ME平面PAC，则EM /平面PAC（2）证明因为PC中点F，在Rt4BC中，AB=2，BAC=60， 则BC=，AC=4.而PA=4，则在等腰三角形APC中PC AF.又在PCD中，PE= ED，PF=FC，则EF/CD，因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，又ACD=90，即ACCD，ACPA=A，则CD平面PAC，所以PCCD，因此EFPC.又EFAF=F， 由知PC平面AEF ；（3）在RtACD中，CD=，AC=
9、4，又EM/PA，PA平面ABCD，EM平面ABCD，即EM为三棱锥E-ACD的高，在ACE中，AE=CE=， AC=4，设点D到平面ACE的距离为h，则，.h=， 即点D到平面ACE的距离为.22. （1） 9km/h； （2） 90； （3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追.上这名运动员； 4h.解（1）设划艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与运动员在C处相遇，过B作AC的垂线BD，则BD=45，AD= 60，在ABC中，AB=75， AC=15t， BC=vt，则，。由余弦定理，得，得整理得当，即时，v2 取得最小值81，即，所以划艇至少以9km/h的速度行驶才能把追.上这位运动员.（2）当v=9 km/h时，在ABC中，AB=75， ，由余弦定理，得，所以ABC= 90，所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90.（3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即BD方向行驶，而BD=45，此时到海岸距离最短，需要的时间最少，所以需要，而4h时运动员向东跑了， .而AD= 60，即4h时，划艇和运动员相遇在点D.所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要4h.
