1、第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN(a0且a1，N0)。logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于1)。logab，推广logablogbclogcdlogad。(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga
2、(MN)logaMlogaN。logalogaMlogaN。logaMnnlogaM(nR)。logamMnlogaM(m，nR)。3对数函数的图象与性质a10a1图象4.yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。1指数与对数的等价关系：axNxlogaN。2换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad。3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故0cd1abc BacbCcba Dcab解析
3、因为0a1，b1。所以cab。故选D。答案D二、走近高考3(2017全国卷)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)上单调递增Bf(x)在(0,2)上单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称解析因为f(x)lnxln(2x)的定义域为(0,2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性，知函数f(x)lnxln(2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A，B；flnlnln，flnlnln，所以ffln，所以排除D，故选C。答案C4(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，
4、则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析因为alog0.20.3，blog20.3，所以log0.30.2，log0.32，所以log0.30.4，所以01，即00，b0，所以ab0，即abab0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1,0c1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_。解析分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a2N0。由2loga(M2N)logaMlogaN，得loga(M2N)2loga
5、MN，所以(M2N)2MN，所以M25MN4N20，即(M4N)(MN)0，所以M4N或MN(舍去)，所以4。(2)由2a5b10可得a，b，所以2(lg2lg5)2，所以2。答案(1)4(2)21对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。2利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。 【变式训练】(1)求值：_。(2)设函数f(x)3x9x，则f(log32)_。答案(1)(2)6考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，
6、则函数yloga|x|的图象大致是() AB C D(2)设实数a，b，c分别满足2a3a2，blog2b1，clog5c1，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dacb解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称。因此yloga|x|的图象应大致为选项B。(2)令f(x)2x3x2，则f(x)在R上单调递增，且f(0)f(1)2120，即a(0,1)。在同一坐标系中作出y，ylog2x，ylog5x的图象，由图象得1bba。故选C。答案(1)B(2)C1在识别函数图象时，要善于利用已知函数
7、的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。 【变式训练】(1)函数f(x)loga|x|1(0a0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x1。答案(1)A(2)(1，)考点三 对数函数的性质及应用微点小专题方向1：比较对数值的大小【例3】(2018天津高考)已知alog2e，bln2，clog，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab解析因为alog2e1，bln2(0,1)，cloglog23log2e1，所以cab。故选D。解析：
8、loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，ylnx的图象，由图知cab。故选D。答案D对数值的大小比较方法：化为同底的对数后利用函数的单调性比较；利用作差或作商法比较；利用中间值(0或1)比较；化为同真数的对数后利用图象比较。 方向2：解不等式【例4】(2018福建漳州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)为减函数，则不等式f(log (2x5)f(log38)的解集为()ABCD解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上单调递减，所以可将f(log (2x5)f(log38)化为|log (2x5)|log38|，即log3(2x5)lo
9、g38或log3(2x5)8或02x5或x0，得1xba BbcaCacb Dabc解析因为alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77log721log72，因为log32log52log72，所以abc。故选D。答案D2(方向2)若loga1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以logalogaa1总成立。当0a1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由logalogaa得a，所以0a0，则实数a的取值范围是_。解析当0a0，即0a0，解得a，且a1，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a
10、)0，即1a1，且2a0，解得a0，且a1，此时无解。综上所述，实数a的取值范围是。答案1(配合例2使用)函数ylncosx的大致图象是()解析在上，tcosx是减函数，则ylncosx是减函数，且函数值y0，故排除B，C；又因为ylncosx是偶函数，排除D。故选A。答案A2(配合例2使用)已知函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)0成立，则实数m的取值范围为_。解析要使函数f(x)x2logmx在上恒有f(x)0成立，则有x2logmx在上恒成立，则有0m1。在同一坐标系中作出yx2和ylogmx的图象(如图所示)。因为当x时，yx2，所以只需ylogmlogmm，所以m，即m，又因为
11、0m1，所以m1，所以实数m的取值范围是m1。答案mba BbcaCacb Dabc解析因为a2 0172 01701,0blog2 017log2 0172 0171，clog2 018bc。故选D。答案D4(配合例4使用)若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a。综上，a。故选C。答案C5(配合例4使用)已知函数f(x)ln(axb)(a0且a1)是R上的奇函数，则不等式f(x)alna的解集是()A(a，)B(，a)C当a1时，解集是(a，)，当0a1时，解集是(，a)，当0aalnaxlnaalna。当a1时，x
12、a；当0a1时，xa。故选C。答案C6(配合例5使用)已知为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数，则()Ae3logeC3e2log3e解析对于A，因为函数yxe是(0，)上的增函数，且3，所以e3e，A项错误；对于B，log3e3logeln3ln333，B项正确；对于C,3e23e23e3log3eln0，则，的大小关系不可能是()A BC D【解析】解法一：取x2，则由log2xlog3ylog5z得y3，z5，此时易知，此时选项C正确。取x4，则由log2xlog3ylog5z得y9，z25，此时易知，此时选项A正确。取x，则由log2xlog3ylog5z得y，z，此时易知0，接下来对k与1的大小关系加以讨论。若k1，则1，1，1，所以，所以选项C有可能正确。若0k3k15k1，所以1，则根据函数f(t)tk1在(0，)上单调递增可得2k13k15k1，所以0，则单调递增；若0，则为常函数；若0，则单调递减。 【变式训练】设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A3y2x5z B2x3y5zC3y5z2x D5z2x3y解析取z1，则由2x3y5得xlog25，ylog35，所以2xlog225log2325z,3ylog31253y。综上可得，3y2x5z。故选A。解析：答案A
