1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形高考大题专项练第4页1.(2018北京,理15)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中,cos B=-17,B2,sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sin A=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sin C=hBC,h=BCsin C=73314=332,AC边上的高
2、为332.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c
3、=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理,得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B.于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B.由sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=2B
4、.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.4.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB
5、2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.5.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理,得2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,所以C=3.(2)由已知,12absin C=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2
6、=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以ABC的周长为5+7.6.(2018全国,理17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.7.在ABC中,角A
7、,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2C-cos 2A=2sin3+Csin3-C.(1)求角A的值;(2)若a=3,且ba,求2b-c的取值范围.解(1)因为cos 2C-cos 2A=2sin3+Csin3-C,所以2sin2A-2sin2C=234cos2C-14sin2C,化简,得sin A=32.所以A=3或A=23.(2)因为ba,所以A=3.由正弦定理bsinB=csinC=asinA=2,得b=2sin B,c=2sin C.故2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin23-B=3sin B-3cos B=23sinB-6.又因为ba,所以3B23
8、,即6B-62.所以2b-c=23sinB-63,23),即2b-c的取值范围为3,23).8.(2018天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因为ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.
