1、3.2.1 单调性与最大(小)值 课后训练巩固提升A 组1.下列函数中,在区间(0,+)内不是单调递增的是()A.y=2x+1B.y=3x2+1C.y=2D.y=2x2+x+1解析:由反比例函数的性质可得,y=2在区间(0,+)内单调递减,故满足条件.答案:C2.函数 y=1-1的单调递减区间是()A.(-,1),(1,+)B.(-,1)(1,+)C.xR|x1D.R答案:A3.如图是定义在区间-5,5上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说法错误的是()A.函数在区间-5,-3上单调递增B.函数在区间1,4上单调递增C.函数在区间-3,14,5上单调递减D.函数在区间-5,5上没
2、有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,一般不能用“”连接.答案:C4.如果函数 f(x)在区间a,b上单调递增,那么对于任意的 x1,x2a,b(x1x2),下列结论中不正确的是()A.(1)-(2)1-20B.(x1-x2)f(x1)-f(x2)0C.若 x1x2,则 f(a)f(x1)f(x2)0解析:因为 f(x)在区间a,b上单调递增,所以对于任意的 x1,x2a,b(x1x2),x1-x2与 f(x1)-f(x2)的符号相同,故 A,B,D 都正确,而 C 中应为若 x1x2,则 f(a)f(x1)f(-m+9),则实数 m 的取值范围是()A.(-,3)B.(0,
3、3)C.(3,+)D.(3,9)解析:因为函数 y=f(x)在区间(0,+)内为减函数,且 f(2m)f(-m+9),所以2 0,-+9 0,2 -+9,解得 0m 0,-+1 0,解得-1k0.答案:(-1,0)8.函数 f(x)=|2x-1|的单调递减区间是 .解析:函数 f(x)=|2x-1|的图象如图所示,故单调递减区间为(-,12.答案:(-,129.求证:函数 f(x)=x+1在区间1,+)内单调递增.证明:设x1,x21,+),且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+11 (2+12)=(x1-x2)+(11-12)=(x1-x2)+2-112=(x1-x2)(1-112
4、)=(x1-x2)(12-112).因为 1x1x2,所以 x1-x20,10,故(x1-x2)(12-112)0,即 f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).故 f(x)=x+1在区间1,+)内单调递增.10.讨论函数 f(x)=+1+2(12)在区间(-2,+)内的单调性.解:f(x)=+1+2=a+1-2+2,设任意 x1,x2(-2,+),且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=1-21+2 1-22+2=(1-2)(2-1)(2+2)(1+2).由-2x10,(x2+2)(x1+2)0.若 a0,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),故 f(x)在区间(-2,
5、+)内单调递减.若 a12,则 1-2a0,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),故 f(x)在区间(-2,+)内单调递增.综上,当 a12时,f(x)在区间(-2,+)内单调递增.B 组1.下列函数中,满足对任意 x1,x2(0,+),当 x1f(x2)的是()A.f(x)=x2B.f(x)=1C.f(x)=|x|D.f(x)=2x+1解析:满足条件的函数即在区间(0,+)内是单调递减的,只有 B 项符合.答案:B2.已知函数 f(x)在区间-4,7上单调递增,则函数 y=f(x-3)的一个单调递增区间为()A.-2,3B.-1,11C.-1,10D.-10,-4解析:因为函数
6、 y=f(x)的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数 y=f(x-3)的图象,所以 y=f(x-3)的一个单调递增区间为-1,10.答案:C3.已知函数 f(x)=2+4,0,4-2,f(a),则实数 a 的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,-2)D.(-2,+)解析:画出 f(x)的图象(图略),可判断 f(x)在 R 上为增函数,故 f(4-a)f(a)4-aa,解得 a2.答案:A4.函数 f(x)=x+2-1的最小值为 .解析:因为 f(x)=x+2-1在定义域12,+)内是增函数,所以 f(x)f(12)=12,即函数的最小值为12.答案:125.已知函数 f(x
7、)=x2-2ax-3 在区间1,2上为单调函数,则实数 a 的取值范围为 .解析:因为二次函数 f(x)的图象开口向上,故其单调递增区间为a,+),单调递减区间为(-,a,而 f(x)在区间1,2上单调,所以1,2a,+)或1,2(-,a,即 a1 或 a2.答案:(-,12,+)6.求函数 f(x)=-1 1的最小值.解:因为 x-10,且 x0,所以 x1,所以函数 f(x)的定义域为1,+).又函数 y=-1在区间1,+)内单调递增,函数 y=-1在区间1,+)内单调递增,所以函数 f(x)=-1 1在区间1,+)内单调递增.所以当 x=1 时,f(x)min=1-1 11=-1.7.已知 y=f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,且 f(1-a)f(2a-1),求 a 的取值范围.解:依题意,f(1-a)f(2a-1)等价于-1 1-1,-1 2-1 2-1,解得 0a0,且 f(x)在区间(1,+)内单调递减,求实数 a 的取值范围.(1)证明:任设 x1x20,x1-x20,所以 f(x1)f(x2),所以 f(x)在区间(-,-2)内单调递增.(2)任设 1x30,x4-x30,所以要使 f(x3)-f(x4)0,只需(x3-a)(x4-a)0 恒成立.又 x3,x4(1,+),所以 a1,所以 0a1,即实数 a 的取值范围为(0,1.
