1、第8讲函数与方程一、填空题1若a2，则函数f(x)x3ax21在(0,2)内零点的个数为_解析 依题意得f(x)x22ax，由a2可知，f(x)在x(0,2)时恒为负，即f(x)在(0, 2)内单调递减，又f(0)10，f(2)4a10，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点答案 12已知符号函数sgn(x)则函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个数为_解析 依题意得，当x1时，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)sgn(ln x)ln2x1ln2x，令1ln2x0，得xe或x，结合x1，得xe；当x1时，ln x0，sgn(ln x)0，f(x)ln2x，令ln2x0，得x1，
2、符合；当0x1时，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x.令1ln2x0，得ln2x1，此时无解因此，函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个数为2.答案 23若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数是_解析 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数是8.答案 84设函数f(x)xln x(x0)，则函
3、数f(x)在区间(0,1)，(1，)内的零点个数分别为_解析设yx与yln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，)内仅有两个零点答案0,25设函数f(x)则函数g(x)f(x)log4x的零点个数为_解析设yf(x)与ylog4x，分别画出它们的图象，得有2个交点，所以函数g(x)的零点个数为2.答案26已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出图象，令g(x)f(x)m0，即yf(x)与ym的图象的交点有3个，0m1.答案(0,1)7方程log2(x4)2x的根有_个解析 作函数ylog2(x4)，y2x的图象如图所示，两图象有两个
4、交点，且交点横坐标一正一负，方程有一正根和一负根答案 28已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_解析因为(1k)24k(1k)20对一切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解 (1)g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与
5、f(x)的图象有两个不同的交点作出g(x)x(x0)和f(x)的图象如图f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为直线xe，开口向下，最大值为m1e2，故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根，m的取值范围是me22e1.12已知二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围解 二次函数f(x)在区间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0的否定是对于区间1,1内的任意一个x都有f(x)0，即整理得解得p或p3，二次函数f(x)在区间1,1内至少存在一个实数c，使f(c)0的实数p的取值范围是.
