1、河南省宏力学校2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理一、单选题(每题5分共60分)1已知复数和虚数单位满足;则( ).A B C D2等于( )ABCD3设i为虚数单位,复数,则z在复平面内对应的点在第_象限.( )A一B二C三D四4“一切金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”.此推理方法是( )A类比推理B演绎推理C归纳推理D以上都不对5函数y的最大值为( )Ae1BeCe2D106( )ABC2D7已知函数的导函数为,且满足,则曲线在点处的切线的斜率等于( )ABCD8已知函数,则函数在处的切线方程是( )ABCD9设曲线与有一条斜率为1的公切线,则( )ABCD10函数的定义域
2、为为的导函数,且,则不等式的解集是( )ABCD11已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )ABCD12将正奇数按如图所示规律排列,则第31行从左向右的第3个数为( )A1915B1917C1919D1921二、填空题(每题5分共20分)13若复数(为虚数单位)是纯虚数,则=_14_.15我国古代数学家著作九章算术有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤,问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关,第关收税金,第关收税金为剩余金的,第关收税金为剩余金的,第关收税金为剩余金的,第关收税金为剩余金的,关所收税金之
3、和,恰好重斤,问原本持金多少?”若将题中“关所收税金之和,恰好重斤,问原本持金多少?”改成“假设这个人原本持金为,按此规律通过第关”,则第关需收税金为_.16已知函数,若恒成立,则正实数的取值范围是_.三、解答题17(10分)计算:(1); (2)18(12分)已知函数.()求函数的单调区间;()求证:当时,.19(12分)已知.(1)求;(2)若,试分析在上的单调性.20(12分)已知函数,曲线过点.(1)求函数解析式.(2)求函数的单调区间与极值.21(12分)已知函数,其中为实数,(1)若,求函数的最小值;(2)若方程在上有实数解,求的取值范围;22(12分)已知函数,(1)若在处的切线
4、为,求的值;(2)若存在,使得,求实数的取值范围参考答案1B【详解】,.故选:B.2C【详解】表示以原点为圆心,为半径的上半圆的面积,.故选:C.3C【详解】,z在复平面内对应的点为,位于第三象限,4B【详解】在推理的过程中:一切金属都能导电,是大前提,铁是金属,是小前提,所以铁能导电,是结论,故是演绎推理,5A【详解】令 当时, ;当 时 , 所以函数得极大值为 ,因为在定义域内只有一个极值,所以故选:A.6D【详解】由定积分的运算性质,可得,又由,根据定积分的几何意义,可知定积分表示所表示的图形的面积,即所表示的上半圆的面积,其中面积为,所以.故选:D.7B【详解】由可得,则,所以,由导数
5、的几何意义可得,曲线在点处的切线的斜率等于.故选:B.8A【详解】,又,函数在处的切线方程,即.故选:A9B【详解】因为,所以,又因为切线的斜率为1,所以,解得,所以切线方程为,因为,所以,解得,代入切线方程得,再将代入,解得,10A【详解】由题意可知在单调递增,又,时,;时,;对于,当时,不等式成立,当时,不等式不成立;当时,且,不等式成立不等式的解集故选:.11B【详解】,因为在上有两个不同的零点,即有两个不同的正根,即有两个不同的正根,即与有两个不同的交点.因为,当时,当时,所以函数在为增函数,在为减函数,当时,且当时,在同一坐标系中作出 与的图象,如图所示:由图象得,故选:B.12B【
6、详解】如题图,第1行1个奇数,第2行3个奇数,第3行5个奇数,归纳可得第31行有个奇数,且奇数行按由大到小的顺序排列,偶数行按由小到大的顺序排列又因为前31行共有个奇数,则第31行第1个数是第961个奇数即是,则第3个数为1917故选:B13【详解】复数是纯虚数,且,解得:.故答案为:.142【详解】故答案为:215【详解】第关收税金,第关收税金,第关收税金,第关收税金.故答案为:16【详解】,在时,在时,若,则,单调递减,成立,若,则当时,递减,时,递增,因此时,所以,显然成立,综上的取值范围是故答案为:17(1)(2)【详解】(1)原式. (5分)(2)原式. (10分)18(1)f(x)
7、的单调增区间为(1,), 单调减区间为(0,1);(2)见解析.【详解】(1)依题意知函数的定义域为x|x0,f(x)2x-2=,由f(x)0, 得x1; 由f(x)0, 得0x2时,g(x)0,g(x)在(2,)上为增函数,g(x)g(2)4-2ln2-6+40,当x2时, x2-2lnx3x-4,即当x2时. (12分)19(1);(2)在上单调递增.【详解】(1)因为,所以;(6分)(2)因为,所以,当时,在上单调递增.(12分)20 (1);(2)在上单调递增,在上单调递减,极大值为.【详解】(1)由过点得,即,所以. (4分)(2)由(1)知,令,令,SY在上单调递增,在上单调递减,
8、极大值为,无极小值. (12分)21(1);(2)【详解】(1)当时,则,由得:;当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增;. (4分)(2);当时,在上恒成立,在上单调递增,方程在上无实数解,不合题意;当时,在上恒成立,在上单调递减,方程在上无实数解,不合题意;当时,令得:;当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,若方程在上有实数解,则只需,即,解得:,;综上所述:的取值范围为. (12分)22(1) ;(2)【详解】(1)由题意得: ,又因为在处的切线为所以,所以 . (4分)(2)存在,使得 ,又因为,所以.所以在上有解.设 ,即:在上有解在上有解. 设 所以又因为,所以 , .故所以, ,所以在上单调递增.即在上单调递增.又因为 ,所以,故所以在上恒大于0.所以在上单调递增.故所以 (12分)