1、辽宁省朝阳市2021届高三数学三模试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知集合AxZ|3x5，By|y+10，则AB的元素个数为（）A0B3C4D52在ABC中，若AB1，AC5，sinA，则（）A3B3C4D43函数f（x）cosx的图象的切线斜率可能为（）AB2CD44跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）A16天B17天C18天D19天5明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水
2、楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（）Ae1e3e2Be2e3e1Ce1e2e3De2e1e36下列各项中，是（）6展开式中的项为（）A15B20x2C15y4D207某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x（1x7，xN）天进店消费的人数为y，且y与（t表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（）A74B76C78D808在三棱柱ABCA1B1C1中，D
3、为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9若1x3y5，则（）A4x+y8Bx+y+的最小值为10C2xy0D（x+）（y+）的最小值为910已知函数f（x）tanxsinxcosx，则（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于y轴对称Cf（x）的图象关于（，0）对称Df（x）的图象关于（，0）对称11已知曲线C的方程为|x+2y|，M：（x5）2+y2r2（r0），则（）
4、AC表示一条直线B当r4时，C与圆M有3个公共点C当r2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点D当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+）12如图，函数f（x）的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f（x）的零点为，则（）A函数g（x）f（x）f（4）lg有3个零点Bf（|x|）log84恒成立C函数h（x）|f（x）|有4个零点Df（x+）f（x）恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z 14已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF
5、2上一点，且|MN|MF1|，P为线段NF1的中点若|F1F2|4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为 152021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A区B区C区D区E区外来务工人员数50004000350030002500留在当地的人数占比80%90%80%80%84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为0.8135x+该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人
6、员中留在当地过年的人员的补贴总额为 万元（参考数据：取0.81353629.29）16如图，正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a，b2（1）若A，求cos2B；（2）若c3，求ABC的面积18某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行根据气象部门的天气预报得
7、知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否出现风雨天气相互独立已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望19在数列an中，a12，（n2+1）an+12（n1）2+1an（1）求an的通项公式；（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分设bnn2an，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn2n+12设bn（n32n2+2n）an，求数列bn的前n项和Tn20如图，在四棱锥PAB
8、CD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O（O为圆心）过点A，且AOACAP2，PA底面ABCD，M为PC的中点（1）证明：平面OAM平面PCD；（2）求二面角OMDC的余弦值21已知函数f（x）m（x+1）212lnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x1，2时，f（x）0，求m的取值范围22已知F为抛物线C：x22py（p0）的焦点，直线l：y2x+1与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|20（1）求C的方程；（2）若直线m：y2x+t（t1）与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上参考答案一、选择题（共8小题）.1已知集合AxZ|3x5，By|y+
9、10，则AB的元素个数为（）A0B3C4D5解：集合AxZ|3x52，1，0，1，2，3，4，By|y+10y|y1，AB0，1，2，3，4，AB的元素个数为5故选：D2在ABC中，若AB1，AC5，sinA，则（）A3B3C4D4解：在ABC中，若AB1，AC5，sinA，可得cosA，所以4故选：D3函数f（x）cosx的图象的切线斜率可能为（）AB2CD4解：f（x）cosx的导数为f（x）sinx+，由于sinx1，1，0，可得sinx+1，则切线的斜率可能为故选：A4跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质小林最近给自己制
10、定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）A16天B17天C18天D19天解：设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，n2+31n8000，当n16时，162+31168000，当n17时，172+17318000，故选：B5明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别
11、为e1，e2，e3，则（）Ae1e3e2Be2e3e1Ce1e2e3De2e1e3解：图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，所以e1e2，e3，因为，所以e1e3e2，故选：A6下列各项中，是（）6展开式中的项为（）A15B20x2C15y4D20解：（）6展开式的通项公式为Tr+1（1）r，由0且0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；由2且0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；由0且4，此时r2，故T3（1）2y415y4，故C正确；由0且，此时r无解，故展开式中不含项，故D错误故选：C7
12、某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x（1x7，xN）天进店消费的人数为y，且y与（t表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（）A74B76C78D80解：由题意可设比例系数为k，10k，k2，y223978，故选：C8在三棱柱ABCA1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（）ABCD解：在三棱柱ABCA1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数n36，这两条棱所在直线至少有一条
13、与直线BD异面包含的基本事件个数为：m+26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9若1x3y5，则（）A4x+y8Bx+y+的最小值为10C2xy0D（x+）（y+）的最小值为9解：根据题意，1x3y5，即，依次分析选项：对于A，则4x+y8，A正确；对于B，x+y+（x+）+（y+）2+22+810，当且仅当x1且y4时等号成立，B正确；对于C，则5y3，则4xy0，C错误；对于D，不考虑正数x、y的限制，有（x+）（y+）5+
14、xy+5+29，当且仅当xy2时等号成立，而，4xy15，xy2不会成立，故（x+）（y+）的最小值不是9，D错误；故选：AB10已知函数f（x）tanxsinxcosx，则（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的图象关于y轴对称Cf（x）的图象关于（，0）对称Df（x）的图象关于（，0）对称解：函数f（x）tanxsinxcosx，对于A：由于函数ytanx的最小正周期为，函数ysinxcosx的最小正周期为，故函数f（x）的最小正周期为，故A正确；对于B：由于f（x）tan（x）sin（x）cos（x）（tanxsinxcosx）f（x），故函数的图象不关于y轴对称，故B错误；对于C：由于
15、函数ytanx的图象关于对称，函数ysinxcosx的图象也关于（）对称，故函数f（x）的图象关于（，0）对称，故C正确；对于D：函数满足f（）0，故D正确；故选：ACD11已知曲线C的方程为|x+2y|，M：（x5）2+y2r2（r0），则（）AC表示一条直线B当r4时，C与圆M有3个公共点C当r2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点D当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+）解：曲线C的方程为|x+2y|，两边平方可得x2+y2x2+4y2+4xy，化为y0或4x+3y0，即曲线C表示两条直线，故A错误；当r4时，圆M的圆心为（5，0），半径为4，圆M与y0有两个
16、交点；又圆心M到直线4x+3y0的距离为d4r，所以C与圆M有3个公共点，故B正确；当r2时，圆M的圆心为（5，0），半径r2，存在圆N，圆心N（1，0），半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确；当C与圆M的公共点最多时，且为4个由r4时，C与圆M有3个公共点，可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+），故D正确故选：BCD12如图，函数f（x）的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f（x）的零点为，则（）A函数g（x）f（x）f（4）lg有3个零点Bf（|x|）log84恒成立C函数h（x）|f（x）|有4个零点Df（x+）f（x）恒成立解：由题意可得f（）0，
17、f（1）2，可得x1时，f（x）（x+）x+，当x1时，由图象可得f（2）1，可设f（x）a（x2）2+1，再由f（1）2，解得a1，则f（x）x24x+5即f（x）由g（x）f（x）f（4）lg0，可得f（x）f（4）lg5lglg1，由图象可得g（x）0只有一个零点，故A错误；由yf（|x|）为偶函数，可得x0时，f（x）f（0），又log84，即有f（|x|）log84恒成立，故B正确；由函数h（x）|f（x）|0，可得|f（x）|，由f（x），可得有三个实根；由f（x），可得有一个实根，则h（x）有四个零点，故C正确；当x1时，f（x）递增，x+x，可得f（x+）f（x）；当x2时，f
18、（x）递增，x+x，可得f（x+）f（x）；当1x2时，f（1）f（3）2，2，所以x（1，2）时，x+（，）在（3，5）内，由f（3）f（1）2，所以f（x+）2，而f（x）（1，2），所以f（x+）f（x）综上可得，f（x+）f（x）恒成立故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z1+2i解：设za+bi（a，bR，b0），则z2+3（a+bi）2+3a2b2+32abi为纯虚数，a2b2+30，2ab0，取a1，b2，则z1+2i，故答案为：1+2i14已知双曲线C：1（a0，b0）的左、
19、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|MF1|，P为线段NF1的中点若|F1F2|4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为yx解：由双曲线的定义，可得|MF2|MF1|MF2|MN|NF2|2a，在NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|NF2|a，又|F1F2|4|OP|，可得2c4a，即c2a，ba，所以双曲线的渐近线方程为yx故答案为：yx152021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A区B区C区D区E区外来务工人员数500040003500300025
20、00留在当地的人数占比80%90%80%80%84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为0.8135x+该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为818.6万元（参考数据：取0.81353629.29）解：由表知，（5000+4000+3500+3000+2500）3600，A，B，C，D，E五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为500080%4000，400090%3600，350080%2800，300080%2400
21、，250084%2100，所以（4000+3600+2800+2400+2100）2980，因为样本中心点在（，）上，所以29800.81353600+，解得51，所以0.8135x+51，当x10000时，0.813510000+518186，所以估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为81861000818600元818.6万元故答案为：818.616如图，正四棱锥PABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为解：如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，
22、过O作OHPE于H易知PO底面ABCD，设AB4，则，设球M的半径为R，半球O的半径为R0.则易知R0OH则，故故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a，b2（1）若A，求cos2B；（2）若c3，求ABC的面积解：（1）由正弦定理知，sinB，cos2B12sin2B12（2）由余弦定理知，cosC，C（0，），sinC，ABC的面积SabsinC218某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行根据气象部门的
23、天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否出现风雨天气相互独立已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望解：（1）因为前两天晚上均为风雨天气的概率为，所以P12，解得p1，因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为，所以1（1p1）3（1p2）2，又p1，所以p2，设“该社区能举行4场音乐会”为事件A，则P（A）C（1）2（1）2+（1）3C（1）；（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，P
24、（X0）（）3（）2，P（X1）C（）2（）2+（）3C，P（X2）C（）2（）2+C（）2（1）C+（）3（1）2，P（X3）（1）3（）2+C（1）2C+C（）2（1）（1）2，P（X4），P（X5）1所以E（X）0+1+2+3+4+519在数列an中，a12，（n2+1）an+12（n1）2+1an（1）求an的通项公式；（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分设bnn2an，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn2n+12设bn（n32n2+2n）an，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由（n2+1）an+12（n1）2+1an，设cn（n1）2+1an，则
25、cn+12cn，可得cn是首项为2，公比为2的等比数列，可得cn2n，则（n1）2+1an2n，所以an；（2）选设bnn2an，数列bn的前n项和为Tn证明：bnn2an2n，所以Tnb1+b2+.+bn2+22+.+2n2n+12选设bn（n32n2+2n）an，求数列bn的前n项和Tn解：bn（n32n2+2n）ann2n，则Tn12+222+323+.+n2n，2Tn122+223+324+.+n2n+1，上面两式相减可得Tn2+22+23+.+2nn2n+1，n2n+1，化简可得Tn2+（n1）2n+120如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O（O
26、为圆心）过点A，且AOACAP2，PA底面ABCD，M为PC的中点（1）证明：平面OAM平面PCD；（2）求二面角OMDC的余弦值解：（1）证明：由题意点A为圆O上一点，则ABAC，由PA底面ABCD，知PAAB，又PAACA，PA、AC平面PAC，AB平面PAC，AM平面PAC，ABAM，M为PC的中点，AMPC，CDPCC，AM平面PCD，AM平面OAM，平面OAM平面PCD（2）如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），D（2，2，0），M（0，1，1），O（，1，0），（，0，1），（3，1，0），设平面OMD的法向量（x，y，z），
27、则，取x1，得（1，3，），由（1）知AM平面PCD，则平面CDM的一个法向量（0，1，1），cos，由图可知二面角OMDC的锐角，则二面角OMDC的余弦值为21已知函数f（x）m（x+1）212lnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x1，2时，f（x）0，求m的取值范围解：（1）f（x）2m（x+1），（x0），当m0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减；当m0时，由f（x）0，解得：0x，由f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，（2）当x1，2时，f（x）0恒成立，即对于任意的x1，2，m恒成立，设，则有，令，则g（x）0在1，2上恒成立，即得g（x
28、）在1，2上单调递减，因为g（1）20，g（2）14ln20，所以存在唯一的x01，2，使得g（x0）0，且当x1，x0时，g（x）0；当x（x0，2时，g（x）0，所以F（x）在1，x0）上单调递增，在（x0，2上单调递减，又因为5lne5ln35ln288ln2，所以F（2）F（1）0，所以，即得，则有m的取值范围为22已知F为抛物线C：x22py（p0）的焦点，直线l：y2x+1与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|20（1）求C的方程；（2）若直线m：y2x+t（t1）与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上解：（1）由题意可得F（0，），准线方程为y，由y2x+1与x22py联立，可得x24px2p0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x24p，y1+y22（x1+x2）+28p+2，所以|AF|+|BF|y1+y2+p8p+2+p20，解得p2，则抛物线的方程为x24y；（2）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4），T（x0，y0），（1），因为ABMN，所以，由，可得（x1+x2）（x1x2）4（y1y2），可得x1+x28，同理可得x3+x48，由，两式相加可得x3+x42x0（x1+x22x0），即（4x0）（1）0，1，可得x04，所以T在定直线x4上
