1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,则下列结论正确的是()A.Sn=nan-2n(n-1)B.Sn=nan+2n(n-1)C.Sn=nan-n(n-1)D.Sn=nan+n(n-1)答案C解析等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,Sn=na1+n(n-1)22=nan-n(n-1).2.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=2处的切线,则f(2)=()A.1B.2C.3D.4答案A解析由图象可得直线l与曲线y=f(x)相切的切点为(2,3)
2、,直线l经过点(0,1),可得直线l的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f(2)=k=1.3.已知函数f(x)=2x3-6x2-18x+1在区间(m,m2-2m)内单调递减,则实数m的取值范围是()A.(-3,0)B.-1,0)C.(3,5)D.(5,7)答案B解析f(x)=2x3-6x2-18x+1,f(x)=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f(x)0,则-1xm,m-1,m2-2m3,解得-1m0,q0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D解析
3、由题意可得a+b=p,ab=q,p0,q0,可得a0,b0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,ab=4.点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,2a+2b-10=0,即a+b=5,p=5,q=4,p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意xR,f(x)+xf(x)2-f(2)f(x+1)的解集是()A.(-,1)B.(-,2)C.(1,+)D.(2,+)答案A解析设g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意xR,f(x)+xf(x)0,所以g(x)=f(x)+xf(x)2-f(2)f(x+1)可得(x+1)f(x+1)g(2),即g(x+
4、1)g(2),所以x+12,即x0,即a2+c2-b2ac,由余弦定理知,cosB=a2+c2-b22acac2ac=12,B(0,),B3,.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列an的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为()A.12B.1C.2D.3答案AC解析因为a2,a3+1,a4成等差数列,所以a2+a4=2(a3+1),因此,a1+a2+a3+a4=a1+3a3+2=a1+14,故a3=4.又an是公比为q的等比数列,
5、所以由a2+a4=2(a3+1),得a3q+1q=2(a3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,2上的函数f(x),f(x)是f(x)的导函数,且恒有cos xf(x)+sin xf(x)2f4B.3f6f3C.f63f3D.2f63f4答案CD解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx,x0,2,则其导数g(x)=f(x)cosx+sinxf(x)cos2x,又由x0,2,且恒有cosxf(x)+sinxf(x)0,则有g(x)0,即函数g(x)为减函数,又由6g3,即f(6)cos6f(3)cos3,分析可得f63f3;又由6g4,即f(6)cos6f(4)cos
6、4,分析可得2f63f4.11.设正项等差数列an满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为210C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200答案ABD解析正项等差数列an满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,a22+a92=20.a2a912(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=10时,等号成立,故A选项正确.a2+a92212(a22+a92)=10,a2+a9210,a2+a9210,当且仅当a2=a9=10时,等号成立,故B选项正确.1a22+1a92=a22+a92a22a
7、92=20a22a9220(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=10时,等号成立,1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.结合的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92400-2102=200,当且仅当a2=a9=10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e0,故C错误.f(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f(x)0,f(x)单调递增,所以f
8、(x)极小值=f(1)=1,故A正确.y=f(x)-x=1x+lnx-x,y=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x20,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g(x)0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1eg(e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f(1)+2x,则f(1)的值为.答案-5解析根据题意,f(x)=x3+x2f(1)+2x,其导数f(x)=3x2+2f(1)x+2,令x=1,得f(1)=3+2f(1)+2,所以f(1)=-5.14.设Sn是等比数列an的前n项和,
9、Sn+Sn+4=2Sn+2(nN+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.答案0或4解析设等比数列an的公比为q,由Sn+Sn+4=2Sn+2可得Sn+4-Sn+2=Sn+2-Sn,即an+4+an+3=an+1+an+2,q2(an+2+an+1)=an+2+an+1,若an+2+an+1=0,则q=-1,此时an=2(-1)n-1,若an+2+an+10,则q=1,此时an=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,则转第100个弯处的数是.答案2 551解
10、析观察由1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+50)=1+250(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值范围为.答案1(-3,24)解析根据题意,作出如下的函数图象,设B(x1,y1),C(x2,y2),l:y=k(x+
11、2),由x3-4x=k(x+2),得(x+2)(x2-2x-k)=0,所以x1,x2是方程x2-2x-k=0的两个根,所以m=x1+x22=22=1.因为f(x)=x3-4x,所以f(x)=3x2-4,过点A作f(x)的切线,设切点为P(x0,y0)(x0-2),则f(x0)=y0-0x0+2=x03-4x0x0+2,即x02+x0-2=0,解得x0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f(1)=-1,切线方程l1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f(-2)=8,所以函数f(x)在点A处的切线方程l2为y-0=8(x+2),即y=8x+16,因为两条切线l1和l2与x=m=1的交点纵坐
12、标分别为-3和24,所以t的取值范围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=ax3+12x2-2x,其导函数为f(x),且f(-1)=0.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)在-1,1上的最大值和最小值.解(1)函数f(x)=ax3+12x2-2x,可得f(x)=3ax2+x-2,f(-1)=0,3a-1-2=0,解得a=1,f(x)=x3+12x2-2x,f(x)=3x2+x-2,f(1)=-12,f(1)=2.曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为4x-
13、2y-5=0.(2)由(1),当f(x)=0时,解得x=-1或x=23,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-1,232323,1f(x)-0+f(x)极小值f(x)的极小值为f23=-2227,又f(-1)=32,f(1)=-12,f(x)max=f(-1)=32,f(x)min=f23=-2227.18.(12分)已知数列an的前n项和为Sn=-n2+2kn(其中kN+),且Sn的最大值为16.(1)求常数k的值;(2)求数列an的通项公式;(3)记数列9-an2n的前n项和为Tn,证明:Tn4.解(1)Sn=-n2+2kn=-(n-k)2+k2,kN+,当n=k时,Sn取得
14、最大值k2,k2=16,k=4.(2)由(1)得,Sn=-n2+8n,当n=1时,a1=S1=7;当n2时,an=Sn-Sn-1=9-2n,a1=7符合上式,故an的通项公式为an=9-2n(nN+).(3)由(2)得9-an2n=n2n-1.Tn=120+221+322+n2n-1,12Tn=121+222+323+n-12n-1+n2n,两式相减得,12Tn=120+121+122+12n-1-n2n=1(1-12n)1-12-n2n=2-12n-1-n2n,Tn=4-n+22n-10)在(0,+)上有极值2.(1)求实数a的值;(2)若f(x)tx+3恒成立,求实数t的取值范围.解(1)
15、f(x)=1x-1=1-xx,当0x0,函数单调递增,当x1时,f(x)0可得0xe,故g(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+)内单调递减,所以g(x)max=g(e)=1e,故t+11e,所以t1e-1.20.(12分)等差数列an(nN+)中,a1,a2,a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的a1,a2,a3组合,并求数列an的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列an的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.若有,请求出k的
16、值;若没有,请说明理由.解(1)由题意可知,有两种组合满足条件:a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列an,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列an,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择,Sn=n(8+4n+4)2=2n2+6n.则Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择,
17、Sn=n(2+2n)2=n2+n,则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,ak,Sk+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意,R,都有f()=f()+f(),且f(2)=2,数列an满足an=f(2n)(nN+).(1)证明数列an2n为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)记数列bn前n项和为Sn,且bn=n(n+1)an,是否存在正整数m,使得(m+1)(Sm-4)+19bm0成立?若
18、存在,求m的最小值;若不存在,请说明理由.解(1)数列an满足an=f(2n)(nN+),a1=f(2)=2.又对任意,R,都有f()=f()+f(),an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,两边同时除以2n+1得,an+12n+1-an2n=1,数列an2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,an2n=n,即an=n2n.(2)由(1)可知bn=n(n+1)an=n+12n,得Sn=212+3122+4123+n12n-1+(n+1)12n,12Sn=2122+3123+n12n+(n+1)12n+1,两式相减得12Sn=121+122+12n-(n+1)
19、12n+1+12=32-n+32n+1,Sn=3-n+32n.假设存在正整数m,使得(m+1)(Sm-4)+19bm0,由指数函数与一次函数单调性知,F(m)=2m+m-16,mN+为增函数.又F(3)=23+3-16=-50,当m4时恒有F(m)=2m+m-160成立.故存在正整数m,使得(m+1)(Sm-4)+19bm0.(1)解f(x)=ex-1x+m,由题意可得,f(0)=1-1m=0,解得m=1,f(x)=ex-1x+1=ex(x+1)-1x+1,令g(x)=ex(x+1)-1,则g(x)=(x+2)ex0,故g(x)在(-1,+)上单调递增且g(0)=0,当x0时,g(x)0,即f(x)0,函数f(x)单调递增,当-1x0时,g(x)0,即f(x)0,函数f(x)单调递减.(2)证明令h(x)=ex-ln(x+2),则h(x)=ex-1x+2在(-2,+)内单调递增,因为h(-1)0,所以h(x)=0在(-2,+)存在唯一实数根x0,且x0(-1,0),当x(-2,x0)时,h(x)0,当x=x0时,函数h(x)取得最小值,因为ex0=12+x0,即x0=-ln(2+x0),故h(x)h(x0)=ex0-ln(2+x0)=12+x0+x0=(1+x0)22+x00,所以ex-ln(x+2)0.
