1、湖南省顶级名校2020届高三数学第七次（5月）大联考试题 理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集UZ，A1，2，3，4，Bx|(x1)(x3)0，xZ，
2、则A(B)A.1，2 B.2，3 C.1，2，3 D.1，2，3，42.已知复数z，则z的共轭复数A. B. C. D.3.函数yax(a0，a1)的图象可能是4.(12t)(1t)6的展开式中，t3项的系数为A.20 B.30 C.10 D.245.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式。孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p2是素数，素数对(p，p2)称为孪生素数。从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为A. B. C. D. 6.如图所示的程序框图，则输出的x，y，z的值分别是
3、A.，600， B.1200，500，300 C.1100，400，600 D.300，500，12007.若，sin2，则sinA. B. C. D.8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则pA.2 B.4 C.6 D.89.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC为等边三角形，PAAB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为A. B. C. D.10.直线x2与双曲线的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任意一点，若(a，bR，O为坐标原点)，则下列不等式恒成立的
4、是A.|ab|2 B.a2b24 C.|ab|2 D.|ab|211.已知函数f(x)cosxsin2x，给出下列命题：xR，都有f(x)f(x)成立； 存在常数T0，xR恒有f(xT)f(x)成立；f(x)的最大值为； yf(x)在上是增函数。以上命题中正确的为A. B. C. D.12.已知函数f(x)lnxax2(a1)xa(a0)的值域与函数f(f(x)的值域相同，则a的取值范围为A.(0，1 B.(1，) C.(0， D.，)第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把各题答案的最简形式写在题中的横线上。13.已知向量a(1，4)，b(2，k)，且(a2b)与(2ab
5、)共线，则实数k 。14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(1，2公里的学生有 人。15.如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cosPEF，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为 。16.如图，在ABC中，ACBC，D为BC边上的点，M为AD上的点，CD1，CABMBDDMB，则AM 。三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题
6、，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分17.(本小题满分12分)已知等差数列an和递增的等比数列bn满足：a11，b13且b32a53a2，b2a42。(1)分别求数列an和bn的通项公式；(2)设Sn表示数列an的前n项和，若对任意的nN*，kbnSn恒成立，求实数k的取值范围。18.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABAA1，BAA160。(1)求证：A1CB1A1；(2)若平面ABC平面ABB1A1，且ABBC，求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值。19.(本小题满分12分)2019年上半年我国多个省
7、市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活。为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定。某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产。决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究。现相关数据统计如下表：(1)研究员甲根据以上数据认为y与x具有线性回归关系，请帮他求出y关于x的线性回归方程；(保留小数点后两位有效数字)(2)研究员乙根据以上数据得出y与x
8、的回归模型：。为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：完成下表(计算结果精确到0.01元)(备注：称为相应于点(xi，yi)的残差)；分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好。(3)根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元。若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由。(利润收入成本)参考公式：。参考数据：。20.(本小题满分12分)已知A(x0，0)
9、，B(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|1，若动点P(x，y)满足。(1)求出动点P的轨迹C的标准方程；(2)设动直线l与曲线C有且仅有一个公共点，与圆x2y27相交于两点P1，P2(两点均不在坐标轴上)，求直线OP1、OP2的斜率之积。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)lnx(aR，a为常数)。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在(e，)内有极值，试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论。(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分。22.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为x2(y1)21。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求直线l和曲线C1的极坐标方程；(2)曲线C2：(0，0)分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应的值。23.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|3xa|3x|。(1)若a3，解不等式f(x)6；(2)若不存在实数x，使得f(x)1a|62x|，求实数a的取值范围。
