1、高三一轮 第八章 平面解析几何 8.8 曲线与方程【教学目标】1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.【重点难点】 1.教学重点：能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真:1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3.能够根据所给条件选择
2、适当的方法求曲线的轨迹方程.真题再现;1. 1【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】（）因为,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（）当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的
3、取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.Com考点：圆锥曲线综合问题 知识梳理：知识点1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线知识点2求动点的轨迹方程的基本步骤1必会结论；(1)“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件(2)曲线的交点与方程组的关系：两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；方程组有几组解，两条曲线就有几个交点
4、；方程组无解，两条曲线就没有交点2必清误区；(1)求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义(2)求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等考点分项突破考点一：直接法求轨迹方程1.已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22y Dy24x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y
5、1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.故选A.【答案】A2已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程【解】如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，.化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.归纳；利用直接法求轨迹方程的关键和注意点1利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简2运用直接法应注意的问题(1)在用直接法
6、求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略考点二: 定义法求轨迹方程(1)ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_(2)已知圆C与两圆x2(y4)21，x2(y2)21外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.求圆C的圆心轨迹L的方程；求满足条件mn的点M的轨迹Q的方程【解析】(1)由题意知|CA|CB|63)【答案】1(x3)(2)设圆x2(y4)21的
7、圆心O(0，4)，圆x2(y2)21的圆心O(0,2)，圆C的半径为r，由题意知，|CO|r1，|CO|r1，从而|CO|CO|，所以l为线段OO的垂直平分线，l的方程为y1.由mn知，动点M到定点F和定直线l的距离相等由抛物线的定义知，动点M的轨迹Q是以点F(0,1)为焦点，以直线y1为准线的抛物线，且p2，从而轨迹Q的方程为x24y.跟踪训练1.如图所示，已知C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程【解】圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2，0，2，MQAP，点M为AP的中点，即QM垂直
8、平分AP.连结AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|r2.又|AC|22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.归纳：定义法求轨迹方程的适用条件及关键1适用条件;动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义2关键;定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义提醒：弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键考点三: 相关点(代入)法求轨迹方程(1)已知长为1的线段AB的两个端点A，B分在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，则点P的轨迹方程为_(
9、2)设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程【解析】(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，则(xa，y)，(x，by)，由得(xa，y)(x，by)，即所以又a2b232，所以y21.【答案】y21(2)设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组消去y并整理得x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得(3y4a)24a(
10、3x12a)，即2(x4a)又点C与A，B不重合，x(62)a，ABC的重心的轨迹方程为2(x4a)(x(62)a)跟踪训练1.P是椭圆1(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是_【解析】由题意知F1(c,0)，F2(c,0)，设P(x0，y0)，Q(x，y)，由得(x，y)(cx0，y0)(cx0，y0)，即所以又1，所以1.【答案】1归纳：相关点(代入)法的基本步骤1设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程。学
11、生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
