1、第2讲直接证明与间接证明基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1若a，bR，则下面四个式子中恒成立的序号是_lg(1a2)0；a2b22(ab1)；a23ab2b2；1，a，b，则a，b的大小关系为_解析a，b.而0(m1)，即a40，2.答案24“a”是“对任意正数x，均有x1”的_条件(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”)解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案充分不必要5下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案6设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b
2、中至少有一个大于1”的条件的是_(填序号)答案7已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|1.则与的假设中正确的是_(填序号)解析反证法的实质是否定结论，对于，其结论的反面是pq2，所以不正确；对于，其假设正确答案8分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是_(填“ab0、ac0、(ab)(ac)0、(ab)(ac)0”中的其中一个)解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3
3、a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案(ab)(ac)0二、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，
4、这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)1设a，b，c均为正实数，则对三个数a，b，c，下列结论正确的序号是_都大于2；都小于2；至少有一个不大于2；至少有一个不小于2.解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B
5、，C的大小关系为_解析，又f(x)x在R上是减函数，ff()f.答案ABC3已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216(当且仅当a4，b12时等号成立)，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，016.答案(0,164某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(2
6、5)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).法一sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二sin2cos2(30)sin cos(30)sin2cos(30)cos(30)sin sin2(cos 30cos sin 30sin )(cos 30cos sin 30sin )sin sin2(cos 30cos sin 30sin )(cos 30cos sin 30sin )sin2(cos 30cos )2(sin 30sin )2sin2cos2sin2sin2cos2.法三sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin 1sin 2(1cos 2).
