1、西安中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再求解交集即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集与补集的运算，属于基础题.2. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）A. 2B. 3C. D. 4【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，然后根据复数模长的计算公式，得到答案.【详解】所以.故选：A.【点睛】本题考查复数的计算，求复数的模长，属于简单题.3. 记为等差
2、数列前n项和已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式本题还可用排除，对B，排除B，对C，排除C对D，排除D，故选A【详解】由题知，解得，故选A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断4. 给出下列四个结论：对于命题，则，“”是“”的充分不必要条件；命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；若命题为假命题，则，都是假命题；其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据全称
3、命题的否定是特称命题判断.根据充分条件和必要条件得定义判断.根据命题间的关系判断.根据复合命题一假则假判断.【详解】命题，是全称命题，其否定是特称命题，故正确.“”能推出“”，故充分，“”推出“” 或“”，不必要，故正确.命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，符合逆否命题的定义，故正确.；若命题为假命题，只要有一个假的，则是假的，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查命题间的关系，命题的否定以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5. 如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”
4、时输出，所以判定框内不能输入，故填，又要求为偶数且初始值为0，所以矩形框内填，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.6. 在等比数列中，已知是方程的两根，则（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】A【解析】在等比数列中，因为是方程的两个根，所以所以因为所以选A.7. 某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a，平均数为b，众数为c，则下列判断错误的是（
5、 ）A. a=92B. b=92C. c=90D. b+c2a【答案】B【解析】【分析】由图知：得分889092949698100人数4534211从而可判断出中位数，众数，平均数.【详解】由图知：得分889092949698100人数4534211所以，.故选：B【点睛】本题考查中位数，众数，平均数的计算，考查学生数据分析和运算求解能力.8. 函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）图象C关于直线对称；图象C关于点对称；由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论
6、.【详解】因为，又，所以正确.，所以正确.将的图象向右平移个单位长度，得，所以错误.所以正确，错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.9. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A. B. C. 3D. 6【答案】B【解析】【详解】分析】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：其底面是底和高分别为5，的
7、三角形，高为，则该三棱锥的体积为V.从而该不规则几何体的体积为.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自201
8、9年3月18日至2020年3月13日在相关区域实施工作日机动车尾号限行交通管理措施.已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C 两辆车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）A. 今天是周四B. 今天是周六C. A车周三限行D. C车周五限行【答案】A【解析】【分析】根据已知中车限行情况可得今天不是周三，根据车限行情况可得今天不是周一，不是周日，根据车的限行情况可知今天不是周五，周二和周六【详解】解：保证每天至少有四辆车可以上
9、路行驶，车明天可以上路且车周四限行，可知：今天不是周三，车昨天限行，今天不是周一，不是周日，、两车连续四天都能上路行驶，今天不是周五，周二和周六，由此推出今天是周四，故选：【点睛】本题考查的简单的合情推理，本题也可以假设某个答案正确，然后逐一验证是否满足所有的条件，属于基础题11. 已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，若函数图象的纵坐
10、标不变，横坐标变为原来的倍， 则，所以当时，在有且仅有5个零点， ，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.12. 平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用面面平行的性质定理可得，从而可得、所成角就是，进而即可求出正弦值.【详解】如图：平面，平面，平面，可知：，是正三角形，、所成角就是，则、所成角的正弦值为故选：【点睛】本题考查了空间角的求法，面面平行的性质定理，属于基础题.第卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试
11、题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_【答案】2025【解析】【分析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：令，得，所以的系数为.故答案为：2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数求法，属于基础题.14. 若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】首先根据
12、题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的
13、坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有_种（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】可知从8个车位里选择4个相邻的车位，共有5种方式，将4辆载有救援物资的车辆相邻停放，有种方式，则可计算出不同的泊车方案.【详解】从8个车位里选择
14、4个相邻的车位，共有5种方式，将4辆载有救援物资的车辆相邻停放，有种方式，则不同的泊车方案有种.故答案为：120.【点睛】本题考查排列问题的求解，属于基础题.16. 等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值详解：设，则，外接圆半径为，在中，同理，则.当时，的最大值为.点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点P在劣弧AB上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二
15、倍角公式、正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列满足时, 当时,上式也成立（2）数列的前n项和【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.18. 如图，D为直角ABC斜边BC上一点，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长；【答案】（1） ；（2
16、）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；（2）设，则，于是，再利用余弦定理即可解出.【详解】（1）在中，根据正弦定理得： 因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）设，则，所以，在中，由余弦定理得：，即，解得：，即【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理应用，属于中档题.19. 如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）由已知，得ABAP，CDPD由于AB/CD ，故ABPD ，从而AB平面PAD又AB 平面PAB，
17、所以平面PAB平面PAD（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20. 已知函数在处的切线方程为.（1）求实
18、数的值；（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.【答案】（），（）【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）问题转化为k=对任意x2恒成立，设h（x）=（x2），根据函数的单调性求出k的最大值即可【详解】（1），所以且， 解得， （2）由（1）与题意知对任意的恒成立， 设，则，令，则，所以函数为上的增函数. 因为，所以函数在上有唯一零点，即有成立，所以 故当时， ，即；当时， ，即 所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以，因为，所以，又因所以最大值为【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，函数恒成立求参数取值范围，一种方法，
19、可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.21. 网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.订单：（单位：万件） 频率0.040.060.100.10订单：（单位：万件）频率0.300.200.100.080.02（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中
20、点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？（2）现从全国开展M外卖业
21、务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）；万元；（2）.【解析】【分析】（1）先由频率分布表求出样本平均数，得到，求出，再由题意，得到，根据二项分布的期望公式，即可得出结果；根据分层抽样，分别得出订单数在区间和的城市数，计算出不开展营销活动所得利润，以及开展营销活动所得利润，即可得出结果；（2）根据题意，由正态分布，先求出随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，得到抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，为使其最大，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】（1）由频率分
22、布表可得，样本平均数为，所以，因此，由题意，可得，所以的数学期望为；由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间内的有个，则每月订单数在区间内的有个，若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），因此M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元；（2）因为，即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，则从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，为使若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，只需，即，即，解得，则，又为整数，所以.【点睛】关键点点睛：本题主要考查正
23、态分布求指定区间的概率，考查由二项分布的概率计算公式求概率的最值，解题关键在于熟记正态分布的对称性，二项分布的概念以及二项分布的概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的方程为（1）求出直角坐标系中的方程和曲线C的普通方程；（2）曲线上有一个动点，求到的最小距离及此时的坐标【答案】（1），；（2），【解析】【分析】
24、（1）根据，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把椭圆的参数方程转化为普通方程；（2）利用点到直线的距离公式得，利用正弦型函数的有界性求最值即可.【详解】（1）因为，所以，所以；由得，所以；（2）设到的距离为，当时，到的距离最小，最小值为，此时,.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标与普通方程的互化，点到直线的距离公式，辅助角公式，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数及恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式求得最小值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，不等式为.当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，即，不成立；当时，不等式可化为，解得，此时.综上所述，不等式的解集为或；（2），而，当且仅当时等号成立.即当和变化时，的最小值为，因为不等式对任意实数及恒成立，即，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
