1、第三章 三角恒等变换32 简单的三角恒等变换内 容 标 准学 科 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.提升数学运算发展逻辑推理应用数学抽象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 半角公式阅读教材 P139140，思考并完成以下问题我们知道二倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用 2替换，结果怎样？(1)根据上述结果，试用 sin，
2、cos 表示 sin2，cos2，tan2.提示：由 sin 1cos 22，cos 1cos 22中，将 换为2得，sin2 1cos 2，cos2 1cos 2.(2)利用 tan sin cos 和二倍角公式又能得到 tan2与 sin，cos 怎样的关系？提示：tan2 1cos 1cos.知识梳理 半角公式：sin2_，cos2_，tan2_1cos 21cos 21cos 1cos 自我检测1若 cos 13，(0，)，则 cos2的值为()A.63 B 63 C 63 D 33答案：A2已知 24，且 sin 35，cos 0，则 tan2的值等于()A3 B3 C13D.13答
3、案：A探究一 三角函数式的求值教材 P139 例 1方法步骤：用“整角”的函数值求“半角”的函数值例 1 已知 为钝角，为锐角，且 sin 45，sin 1213，求 cos2 与 tan2 的值解析 因为 为钝角，为锐角，sin 45，sin 1213，所以 cos 35，cos 513，所以 cos()cos cos sin sin 35 5134512133365.因为2，02，所以 0，所以 02 2.所以 cos2 1cos（）21336527 6565.由 02 2，得 sin2 1cos22 4 6565.所以 tan2 sin2cos247.方法技巧 利用半角公式求值的思路(1
4、)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan2sin 1cos 1cos sin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用 sin221cos 2，cos221cos 2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪探究 1.已知 cos 35，且 180270，求 tan2的值解析：法一：180270，902135，tan20，tan21cos 1cos 1351352.法二：
5、180270，sin 1cos2135245，tan21cos sin 135452.或 tan2sin 1cos 451352.探究二 三角恒等式的化简教材 P146A 组 5(2)题化简：sin 40(tan 10 3)解析：原式sin 40sin 10 3cos 10cos 102sin 40sin（1060）cos 102sin 40cos 40cos 10sin 80cos 101.例 2 化简：cos32 tan2（1cos）1cos(0)解析 tan2sin 1cos，(1cos)tan2sin.又cos32 sin，且 1cos 2sin22，原式sin sin 2sin222
6、sin 2sin22 2sin2cos2sin2.0，020.原式2 2cos2.方法技巧 三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂在三角函数式的化简中，“幂降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂跟踪探究 2.化简2cos212tan4 sin24.解析：2cos212tan4 sin24cos 22cos4sin4sin24cos 2sin22cos 2cos 21.探究三 三角恒等式的证明教材 P140 例 2方法步骤：从左右(右左)，由繁简例 3 证明：2sin xcos x（sin xcos x1）（sin xcos x1）1
7、cos xsin x.证明 左边2sin xcos x2sinx2cosx212sin2x21 2sinx2cosx212sin2x212sin xcos x2sin x2cosx2sinx2 2sinx2cosx2sinx22sin xcos x4sin2x2cos x2sinx2cosx22sin2x2cosx2sinx2.右边12cos2x212sinx2cosx2cosx2sinx2，所以左边右边，即等式成立方法技巧 证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2
8、)证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的跟踪探究 3.求证：1sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan2.证明：要证原式，可以证明1sin 4cos 41sin 4cos 4 2tan 1tan2.左边sin 4（1cos 4）sin 4（1cos 4）2sin 2cos 22sin222sin 2cos 22cos222sin 2（cos 2sin 2）2cos 2（sin 2cos 2）tan 2，右边 2tan 1tan2tan 2，左边右边
9、，原式得证探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用教材 P141 例 4方法步骤：设角度；建关系；化简求值例 4 如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于 的函数关系式(2)求 S 的最大值及相应的 角解析(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于 D，QEOB 于 E(图略)，则四边形 QEDP为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos.在 RtOEQ 中，OE 33 QE 33 PD，MNOD
10、OEcos 33 sin，Scos 33 sin sin sin cos 33 sin2，0，3.(2)S12sin 2 33 1cos 2212sin 2 36 cos 2 36 33 sin26 36.0，3，266，56，sin26 12，1，当 6时，Smax 36(m2)方法技巧 此类题以角度为变量，利用几何性质、三角函数定义建立关系，然后化简，研究性质跟踪探究 4.如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB 的周长最大？解析：设AOB，OAB 的周长为 l，则 ABRsin，OBRcos，lOAOBABRRsin Rcos R(sin cos)R 2
11、Rsin4 R.02，4434.l 的最大值为 2RR(21)R，此时，42，即 4，即当 4时，OAB的周长最大课后小结1三角函数求值问题的解题思路(1)“给角求值”问题一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有着一定的关系，如两角的和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式(2)“给值求值”问题，即给出某些角的三角函数值，求另外一些三角函数的值，解决这类求值问题的关键是结合条件和结论中的角，合理拆、配角当然在这个过程中要注意相关各角的范围，或根据问题的具体特点，从变换已知条件和被求式的角度入手，进行双向变换，实现角度的统一，然后利用代入法将已知条
12、件代入被求式，从而达到求值的目的2化简三角函数式的基本思路三角函数式的化简是三角恒等变换的一个重要方面其基本方法是统一角和统一三角函数的名称常用方法有：异名函数化为同名函数，异角化为同角，异次化为同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等在具体实施的过程中，应着重抓住“角”的统一通过观察角、函数名称、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数3证明三角恒等式的基本思路三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到
13、右，从右证到左，左右归一或变更命题选择哪一种证法的依据是“化繁为简”在确定了“化繁为简”的目标后，还应注意：强化化异为同的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，其常用方法用：直推法、代入法、换元法等素养培优三角恒等变换“四种策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2 cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切
14、化弦典例 化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2.解析 法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2cos2sin2cos 212cos 2cos 2cos2cos 2sin212cos 21cos 22cos 2sin2
15、12（12sin2）1cos 2212cos 212.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 21cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 21212cos 2cos 212cos 2cos 212.法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos)22sin sin cos cos 12cos 2cos 2cos2()12sin 2sin 212cos 2cos 2cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.归纳总结 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换课时 跟踪训练
