1、桂林十八中 12 级高三第二次月考试卷 文科数学 命题人：霍荣友 审题人：周艳梅 注意：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分 考试时间：120 分钟答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题
2、5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 A0，1，2，4，B1，2，3，则 AB A0，1，2，3，4 B0，4 C1，2 D3 2已知复数12izi，则复数 z 等于 A2i B2i C 2i D 2i 3已知角 的终边经过点(4,3)，则cos A.45 B.35 C35 D45 4函数 y3sin2x3 的一条对称轴方程为 A2x B3x C6x D12x 5设2212log,log,abc 则 Aabc Bbac Cacb Dcba 6已知两个单位向量,a b 的夹角为60，(1)ctat b，若0b c，则t=A2 B3 C 3 D4 7.111234,
3、2,(),1,nnnaaaacn ca a aa数列中是常数 且成公比不为的等比数列 则 A4 B8 C10 D14 8从2，3，4中随机选取一个数a，从2，3，4中随机选取一个数b，则ba 的概率是 A.29 B.49 C 13 D.23 主视图侧视图俯视图9我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32 a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为 A63 a B52 a C 2 23a Da 10已知 a0，且 a1，则函数 f(x)ax(x1)22a 的零点个数为 A 1 B2 C3 D.与 a 有关 11执行如图所示的程序框图
4、，如果输入的,x yR那么输出的 S 的最大值为 A 0 B1 C2 D.3 12已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为 V1，直径为 4 的球的体积为 V2，则 V1:V2等于 A1:2 B2:1 C1:1 D1:4 卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分把答案填在题中横线上 13在等差数列na中，12a ，3510aa，则7a 14正三棱柱111ABCA B C的所有棱长均为 2，111A BB C则异面直线与所成角的余弦值为 15.函数cos22sinyxx 的最大值为_ 16定义在上的函数()f x，其图象是连续不断的，如果
5、存在非零常数（R），使得对任意的 xR，都有()()f xf x，则称()yf x为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）若函数()yf x是倍增系数2 的倍增函数，则()yf x至少有 1 个零点；函数()21f xx 是倍增函数，且倍增系数1；函数()xf xe是倍增函数，且倍增系数(0,1)；*()sin 2(0),2kf xxkN若函数是倍增函数 则.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.(1)求 cosCAD 的值；开始是 否(2)若
6、cosBAD 714，sinCBA 216，求 BC 的长 18.（本小题满分 12 分）已知na是递减的等差数列，23,aa 是方程2560 xx 的根 (1)求na的通项公式；(2)求数列2nna 的前 n 项和 19（本小题满分 12 分）某校高三年级有男学生 105 人，女学生 126 人，教师 42 人，用分层抽样的方法从中抽取 13 人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息（1）完成此统计表；（2）估计高三年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女学生中选取 2 人进行访谈，求选到 两名学
7、生中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率 20（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E ABC 的体积 同意 不同意 合计 教师 1 女学生 4 男学生 2 21（本小题满分 12 分）设椭圆22221(0)xyabab 的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶点为 B.已知|AB|32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的
8、圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率 22（本小题满分 12 分）已知函数2()1xf xea xb x，其中,a bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间 0,1 上的最小值；(2)若(1)0f，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明：21ea .桂林十八中 12 级高三第二次月考试卷 文科数学答案 一、选择题答案 CADDC ADCAB DA 12.三视图【答案】A 提示:12。依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积，几何体的体积，选 A.二、填空题答案 138
9、14.24 15.32 16.16函数 y=f（x）是倍增系数=-2 的倍增函数，f（x-2）=-2f（x），当 x=0 时，f（-2）+2f（0）=0，若 f（0），f（-2）任一个为 0，函数 f（x）有零点 若 f（0），f（-2）均不为零，则 f（0），f（-2）异号，由零点存在定理，在（-2，0）区间存在 x0，f（x0）=0，即 y=f（x）至少有 1 个零点，故正确；f（x）=2x+1 是倍增函数，2（x+）+1=（2x+1），=21121xx 故不正确；()xf xe是倍增函数 ()xxeee=，xyeyx由和的图象得（0，1），故正确；f（x）=sin（2x）（0）是倍增函数
10、，sin2（x+）=sin（2x），211,1,2kk 得时时（kN*)故不正确故答案为：三、解答题 17解：(1)在ADC 中，由余弦定理，得 cosCADAC2AD2CD22ACAD，故由题设知，cosCAD7142 72 77.5 分(2)设BAC，则 BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD 714，所以 sinCAD 1cos2CAD 12 772 217，sinBAD 1cos2BAD1 71423 2114.于是 sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD 3 2114 2 77 714 217 32.在ABC 中，由正弦定理，得
11、BCsin ACsinCBA.故 BCACsin sinCBA 7 322163.18解：(1)方程 x25x60 的两根为 2，3.由题意得 a23，a32.设数列an的公差为 d，则 a3a2d，故 d1，从而得 a14.21:1:2VV 22241416()2()22323V 314432()323V所以an的通项公式为 ann+5 5 分(2)设an2n 的前 n 项和为 Sn，由(1)知522nnnan，则2344321522222nnnS 2345114321652222222nnnnnS 两式相减得 2345111111152()2222222nnnnS 即111115422()
12、12212nnnnS 111115422()12212nnnnS 得33()2nnnS 19【解】（1）同意 不同意 合计 教师 1 1 2 女学生 2 4 6 男学生 3 2 5 4 分（2）2312610510565（人）7 分 （3）设“同意”的两名学生编号为 1，2，“不同意”的编号为 3，4，5，6 选出两人共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共 15 种结果，其中恰有一人“同意”，一人“不同意”的（1，3），（1，4），（1，5），（1，
13、6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共 8 种结果满足题意.每个结果出现的可能性相等，所以恰好有 1 人“同意”，一人“不同意”的概率为 815.20解：(1)证明：在三棱柱 ABC A1B1C1中，BB1底面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1BCC1.4 分(2)证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F，G 分别是 A1C1，BC，AB 的中点，所以 FGAC，且 FG12AC，EC112A1C1.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1，所以四边形 FGEC1
14、为平行四边形，所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.8 分(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB AC2BC2 3.所以三棱锥 E ABC 的体积 V13SABCAA11312 312 33.21解：(1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c，0)由|AB|32|F1F2|，可得 a2b23c2.又 b2a2c2，则c2a212，所以椭圆的离心率 e 22.4 分(2)由(1)知 a22c2，b2c2.故椭圆方程为 x22c2y2c21.设 P(x0，y0)由 F1(c，0)，B(0，c)，有F1P(x0c，y0)，F1B(c，c)
15、由已知，有F1PF1B0，即(x0c)cy0c0.又 c0，故有 x0y0c0.又因为点 P 在椭圆上，所以 x202c2y20c21.由和可得 3x204cx00.而点 P 不是椭圆的顶点，故 x043c.代入得 y0c3，即点 P 的坐标为4c3，c3.设 圆 的 圆 心 为 T(x1，y1)，则 x1 43c02 23 c，y1 c3c2 23 c，进 而 圆 的 半 径 r（x10）2（y1c）2 53 c.设直线 l 的斜率为 k，依题意，直线 l 的方程为 ykx.由 l 与圆相切，可得|kx1y1|k21 r，即k2c3 2c3k21 53 c，整理得 k28k10，解得 k4
16、15，所以直线 l 的斜率为 4 15或 4 15.22解：(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb，所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2a 当 a12时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值
17、是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.5 分(2)证明：设 x0为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减 则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负 故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点 由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意 所以12ae2.此时 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增 因此 x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有 g(0)1b0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 有 abe10，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.
