1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时等比数列的性质内容标准学科素养1.理解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.3.掌握等比数列的有关性质，并能综合应用解决有关问题.加强定义理解精确性质应用提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页基础认识知识点一等比数列的单调性预习教材P2325，思考并完成以下问题观察下面几个等比数列中项的变化趋势，指出它们的单调性(1)1，(2)9，3，1，(3)1，2，4，8，16，(4)1，(5)2，2，2，2，2，提示：(1)项是增加的，且a10，0q1，是单调递增数列(
2、2)项是减小的，且a10，0q1，是单调递减数列(3)项是减小的，且a10，q1，是单调递减数列(4)项是摆动的，a10，q0，不是单调数列(5)项是不变的，a10，q1，是常数列知识梳理等比数列的单调性公比q单调性首项a1q00q1q1q1a10不具备单调性递减数列不具备单调性递增数列a10不具备单调性递增数列不具备单调性递减数列知识点二等比中项思考并完成以下问题1在2，8之间插入一个数，使之成等比数列这样的实数有几个？提示：设这个数为G，则，G216，G4，所以这样的数有2个2若a，G，b成等比数列，能得出什么结论？提示：因为a，G，b成等比数列，所以，所以G2ab.知识梳理1.等比中项的
3、概念如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，我们称G为a，b的等比中项2等比中项与等差中项的异同，对比如下表对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项定义式AabA公式AG个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab0时，a与b才有等比中项知识点三等比数列的性质思考并完成以下问题给出以下两个等比数列an1，2，4，8，；1，3，9，27，.(1)在上述每一个数列中，请你计算a2a6与a3a5的值，看它们有
4、什么关系？若计算a1a5与a2a4呢？提示：a2a6a3a5；a1a5a2a4.(2)在上述每一个数列中，a2a6；a3a5的值与a4的值有什么关系？a1a5；a2a4与a3的值呢？提示：a2a6a3a5a；a1a5a2a4a.知识梳理类比等差数列的性质得出等比数列的一些性质如下：若数列an是公比为q的等比数列，则(1)anamqnm(m，nN)(2)若mnst2k(m，n，s，t，kN)，则amanasata.(3)can(c是非零常数)是公比为q的等比数列(4)|an|是公比为|q|的等比数列(5)若an、bn分别是公比为q1、q2且项数相同的等比数列，则数列anbn是公比为q1q2的等比
5、数列自我检测1等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列解析：由于公比q0，所以数列an是摆动数列答案：D22和2的等比中项是()A1 B1 C1 D2解析：设2和2的等比中项为G，则G2(2)(2)1，G1.答案：C3已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于_解析：由a5a2q3，得q3，所以q.答案：授课提示：对应学生用书第21页探究一等比数列的性质例1已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625.求a3a5.(2)若an0，a5a69.求log3a1log3a2log3a10的值解题指南(1)由等比数列性质得a2a4
6、a，a4a6a，从而得解(2)由等比数列性质得a1a10a2a9a3a8a4a7a5a6，从而进行求解解析(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质，得a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.方法技巧等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：anamqnm(n，mN)性质2：若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.性质3：若an，bn(项数相同)是等比数列，
7、则an，a，anbn，仍是等比数列性质4：在等比数列an中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1ana2an1a3an2.性质5：在等比数列an中，序号成等差数列的项仍成等比数列跟踪探究1.(2019朝阳区模拟)已知等比数列an各项均为正数，公比为q，满足an1an，a2a86，a4a65，则q2()A. B. C. D.解析：a4a6a2a86，a4a65，等比数列an各项均为正数，解得a43，a62，q2.故选D.答案：D2已知等比数列an的公比为正数，且4a2a8a，a21，则a6()A. B. C. D.解析：由4a2a8a，得4aa，q，a6a2q4.答案：B探究二等比中项的应用阅读
8、教材P25练习2第三题求下列各组数的等比中项(1)45和80.(2)73和73.(3)(ab)2和(ab)2.解析：由等比数列性质所得，等比中项的平方等于前后两项的乘积(1)G60.(2)G2.(3)G(a2b2)例2(1)在等比数列an中，a3，a9是方程3x211x90的两个根，则a5a6a7()A3 B.C3 D以上都不对(2)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()A1或 B1或C1或 D1或解题指南(1)由根与系数的关系可得a3a9，又a3a9a，a5a7a.可得结果(2)根据等差及等比中项的定义求解解析(1)由根与系数的关系得a3a93，又a6为a3与a9的等
9、比中项，所以a6，在等比数列an中，a5a6a7a3.(2)由题意得，a2b2(ab)21，2，所以或因此1或.答案(1)C(2)D方法技巧等比中项的性质(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0)跟踪探究3.如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9解析：根据等比中项的定义得，得a2c29b2，即ac3b将代入得b23b，解得b3
10、.又由得b0，b3，acb29.故选A.答案：A探究三等比数列的实际应用阅读教材P24例4及解答据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，每时平均毁林约48 hm2，森林面积每年以3.6%3.9%的速度减少，迄今被毁面积已达1.3107 hm2，目前还剩1.9107 hm2，请你回答以下几个问题：(1)如果以每时平均毁林约48 hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？(2)根据(1)计算出的年数n，如果以每年3.6%3.9%的速度减少，计算n年后的毁林情况；(3)若按3.6%的速度减少，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少
11、年森林将被毁尽？题型：等比数列的实际应用方法步骤：(1)先计算出平均每年毁林数，然后用算式得出森林将被毁尽的年数；(2)根据等比数列的通项公式用计算器计算45年后还剩余的森林面积；(3)分别计算150年后，200年后，250年后，300年后，剩余森林的面积数例3某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1x)818x(其中0x1)解题指南.解析设这个城市的人口年平均增长率为x(0x1)，则该城市2017年年底到
12、2025年年底人口数量组成等比数列，记为an，则a1100，公比q1x，则2025年年底人口数量为a8a1q8100(1x)8.2025年年底住房总面积为100582452 460(万平方米)由题意得24，即(1x)8，因为(1x)818x(0x1)，所以18x，所以x0.003.答：该城市的人口年平均增长率约是0.003.延伸探究在本例中，若将“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米”改为“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房250万平方米”，则结论如何？解析：由例题解析知2025年年底住房总面积为100582502 500(万平方米)，由题意得24，解得x0.005.答
13、：该城市的人口年平均增长率约是0.005.方法技巧等比数列的实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解跟踪探究4.某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？解析：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为xd，x，x
14、d，(d0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为xd，x10，xd25，由题意得解得x90，d10，故共有(xd)(x10)(xd25)3x3539035305(台)，即该厂第一季度实际生产电脑305台.授课提示：对应学生用书第22页课后小结(1)在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率(2)对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a1，d的方程组(3)两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方素养培优忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误在等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，则a7_易错分析在等比数列中，其奇数项的符号相同，其偶数项的符号也相同，解题过程中如果忽略这一特点，容易造成增解致误，考查精确应用的学科素养自我纠正a5，a9是方程7x218x70的两个根a70.又a7是a5与a9的等比中项，aa5a91，a71.- 7 - 版权所有高考资源网
