1、2015年重庆一中高2017级高一下期半期考试数 学 试 题 卷 2015.5数学试题共4页，共21个小题满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1.已知等差数列满足，则（ ） A.3 B.6
2、C. 8 D. 122.已知向量，若，则实数的值是（ ）A. 6 B. C. D. 3.实数满足，则的最大值为（ ）A.2 B. C. 7 D.8 4.若，则的最小值是（ ） A. B. C. D.5.（原创）在圆内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 甲组乙组 9 6 0 7 83 3 1 1 3（第6题图）6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图
3、所示，其中，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多，则的值为（ ）A. B. C. D.7.（原创）为非零实数，已知且，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. B. C. D. 8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填入的条件是（ ）结束 输出 开始否是？A. B. C. D. 9.（原创）已知的三个内角满足，则（ ）A. B. C. D. 10.（原创）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 二填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的的值为 ；80 90 100 110 12
4、0 130 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm 频率/组距 （第12题图） while EndwhilePRINT END（第11题图）12.对大量底部周长（单位：cm）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到
5、，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ；15.（原创）已知，将数列的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一个金字塔状的三角形数阵，其中第行有个项，记第行从左到右的第个数为17,5,39,11,13,15,1731,29,27,25,23,21,1933,35,37,39,41,43,45,47,49，如，则 （结果用表示）.三解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过
6、程和演算步骤) 16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度非常喜欢一般不喜欢人数500200100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人.（1）求的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为）2名女生（记为），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果；（3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数
7、列的前项和，数列是等比数列，且.（1）求及；（2）记，求数列的前项和.18.（13分）（原创）如图，已知菱形的边长为2，分别为上的点，记.（1） 当时，求；（2）若，求的值.19.（12分）（原创）中，内角的对边分别为，若边，且.（1）若，求的面积；（2）记边的中点为，求的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数.（1）是否存在使得对任意恒成立？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由.（2）当时，若关于的方程的两根满足，试求的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列的前项和为，满足，且，数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2） 求证：（是自然对数的底数，）.命题人：
8、黄正卫审题人：王中苏2015年重庆一中高2017级高一下期半期考试数 学 参 考 答 案 2015.5一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记，则的夹角为，且配凑可得：令，则上式. 二填空题：6 ，80 ， ， .三解答题. 16.（13分）解：（1）抽样比例为，故；（2），共10种可能的结果；（3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为，则，其含有7种结果，故（或解：表示两个都是男生，包含3个结果，）17.（13分）解：（1）时，又满足此式，故，于是，而等比，故；（2），由错位相减法，有：两式相减，得：，因此.18.（13分）解：（1）当时，分别为的中点，法一：此时易得且的夹角为，
9、于是；法二：由余弦定理易求得，故；（2），故.19.（12分）解：因为，故，由余弦定理可得；（1），即或当时，当时，为等边三角形，；（2）法一：由于，故因为，故由余弦定理知，于是而，故，故，（当且仅当）时取等.法二：中，因为，故由余弦定理知，故，（当且仅当）时取等.20.（12分）解：（1）中令得故，于是，法一：对恒成立，有：对恒成立则必有，而，于是只有，进而上面的不等式组变为：对恒成立，显然有且只有才行，此时故存在满足题意；法二：由题知对恒成立，有，整理得，又对恒成立，故必有而，于是，而故，此时，显然满足对恒成立，故存在满足题意；（2）当时，方程，令，其两个零点为，则而令，在约束条件下，由线性规划知识易求得故，也即：.21.（12分）解：（1）由，且其首项，故等比，公比为；（2）先求，由（1）知等比，其首项为，公比为,于是；（或用特征根法求得）由题可得，由于，故因此所证，而时，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：，而，over了.
