1、陕西省西安中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. B分析：将抛物线的方程化为标准方程，由此可求得该抛物线的焦点坐标.解答：抛物线的标准方程为，则，可得，因此，抛物线焦点坐标为.故选：B.2. 设直线、的方向向量分别为，若，则等于（ ）A. B. C. D. B分析：由可得出，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.解答：由于，则，解得.故选：B.3. “若或，则”的否命题为A. 若或，则B. 若，则或C. 若或，则D. 若且，则D分析：根据原
2、命题与否命题的定义写出结果即可解答：“若或，则”的否命题为：若且，则故选点拨：本题主要考查了否命题与原命题的关系，属于基础题4. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若，则； （4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同A. 0B. 1C. 2D. 3B分析：根据相等向量的有关概念判断解答：由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，
3、（4）错，所以正确答案只有一个故选：B5. 过抛物线E：y22x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|（ ）A. 2B. C. 3D. 4C分析：设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A，B，M，求出，即得解.解答：设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A，B，M，则有|AA|AF|，|BB|BF|，|AA|+|BB|2|MM|，M到y轴距离为1，|AB|AF|+|BF|2|MM|3故选：C点拨：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. C分析：求出导函数，
4、然后由确定减区间解答：函数定义域是，由已知，当时，时，所以减区间是故选：C7. 已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是A. B. C. D. D因为双曲线的一条渐近线的方程是：，所以设双曲线的方程 因为过点，所以 ，选D.8. 对于空间任意一点和不共线的三点，且有，则，是,四点共面的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件B分析：利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，且,得,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.解答：解：空间任意一点和不共线的三点，且则,四点共面等价于若，则，所以,四点共面若,四点
5、共面，则，不能得到，所以，是,四点共面的充分不必要条件故选B.点拨：本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.9. 椭圆的右焦点为，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆的离心率A. B. C. D. B分析】由题意得在等腰直角三角形中有，而，由此可得关于的关系式，消去整理后可得关于的方程，解方程可得所求解答：由题得当时，为等腰直角三角形，所以，解得，又，故选B点拨：解得本题时注意以下几点：（1）对形状的判定，分清两直角边分别是谁；（2）解题中注意应用一些常见的结论，以简化运算，如在本题中过焦点垂直于长轴的弦长（即通径长）为；（3）注意椭圆离心率的取值范围10.
6、 已知函数，当时，在内的极值点的个数为（ ）A. B. C. D. C分析：求导令导函数等于0，得出，将问题转化为函数，的交点问题，画出图象即可判断.解答：令得出令函数，它们的图象如下图所示由图可知，函数，有两个不同的交点，则在内的极值点的个数为2个故选：C点拨：本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.11. 已知正方体，Q是平面内一动点，若与所成角为，则动点Q的轨迹是（ ） A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆C分析：建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式化简即可判断动点Q的轨迹.解答：设正方体的棱长为1，以分别为x，y，z，建立空间直角坐标系，如图所示，设，所以由于，
7、所以，平方得，即，即轨迹为抛物线.故选：C点拨：本题主要考查了由线线角求其他量，属于基础题.12. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线MN与C的左支交于M，N两点，若，则C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. B分析：设椭圆焦距为，取的中点，连接，转化条件得，进而可得、，利用余弦定理可得、，即可得解.解答：设椭圆焦距为，取的中点，连接，如图所示：，即，中，在中，由可得，化简可得，或（舍去），该双曲线渐近线方程为即.故选：B.点拨：本题考查了双曲线性质的应用及渐近线的求解，考查了余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“，”为假命题，则实数的取值
8、范围是_分析：由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.解答：若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题，解得：的取值范围为故答案为：点拨：本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.14. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为_分析：利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离.解答：由已知条件可得，平面的一个法向量为，所以，点到平面的距离为.因此，点到平面的距离为.故答案为：.点拨：方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体
9、的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.15. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程_.分析：设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程解答：解：设直线与椭圆的交点为，为的中点，所以，又、两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为，即.故答案为.点拨：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16. 设，则的最小值为_分析：设点、，则表示再加上点的横坐标
10、，利用抛物线的定义可得出（其中为抛物线的焦点），利用导数求出的最小值，即可得解.解答：.设点、，则表示再加上点的横坐标，其中点为抛物线上的一点，该抛物线的焦点为，准线为.作出函数与抛物线的图象如下图所示： 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，设交轴于点，则，当且仅当、三点共线时，等号成立，下面利用导数求出的最小值，构造函数，其中，且函数单调递增，当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.，因此，的最小值为.故答案为：.点拨：关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解的最值时，充分利用了导数来求
11、解.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （）求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；（2）求经过点的抛物线的标准方程；（1）；（2）或.分析：（1）由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；（2）设出抛物线方程，利用经过，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程解答：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1（a0,b0）由题意，得解得b=6, 解得，所以焦点在x轴上的双曲线的方程为（2）由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或（p0）当方程为，将点代入得16=4p，即p=4,抛物线方程为：；当方程为，
12、将点代入得4=8p，即p=,抛物线方程为：；18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且为等边三角形（1）求证：；（2）求二面角的正弦值（1）证明见解析；（2）.分析：（1）由面面垂直得线面垂直，然后可得线线垂直；（2）取AD中点记为，连结，在平面ABCD内过作平行于直线为轴，为轴，为轴建立窨直角坐标系，用空间向量法求二面角解答：1证明：四边形ABCD为正方形，所以，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面又平面，所以2解：取AD中点记为，连结.由于为等边三角形，为AD中点，又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，在平面ABCD内过作直线平行
13、于，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面PAD的一个法向量为设平面PAC的一个法向量，则有，令，则则有，则二面角的正弦值点拨：方法点睛：本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角求二面角的常用方法：（1）定义法：即作出二面角平面角并证明，然后计算；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角求解二面角19. 已知函数，在点处的切线方程为，求：实数a，b的值； 函数的单调区间以及在区间上的最值（1） （2）分析：求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出的值求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解区间上的函数的最值解答：（1
14、）因为在点M（1，f（1）处的切线方程为9x+3y-10=0，所以切线斜率是k=-3且91+3f（1）-10=0，求得，即点又函数，则f（x）=x2-a所以依题意得-解得（2）由（1）知 所以f（x）=x2-4=（x+2）（x-2）令f（x）=0，解得x=2或x=-2 当f（x）0x2或x-2；当f（x）0-2x2 所以函数f（x）的单调递增区间是（-，-2），（2，+）单调递减区间是（-2，2）又x0，3 所以当x变化时，f（x）和f（x）变化情况如下表： X0（0，2）2（2，3）3f（x）-0+0f（x）4极小值1所以当x0，3时，f（x）max=f（0）=4，-点拨：本题主要考查了函数
15、的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值的求法，考查了转化思想和计算能力，较为基础20. 如图1，在中，别为边BM，MC的中点，将沿AD折起到的位置，使，如图2，连结PB，PC.（1）求证：平面平面ABCD；（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（1）证明见解析；（2）存在，.分析：（1）由线面垂直的判定定理证明平面ABCD然后再得面面垂直；（2）由两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，假设存在满足题意，设出，用空间向量法求二面角，再根据二面角的大小得出解答：（1）证明：因为A，D分别为MB，MC中点，所以因为，所以所以因为，所以
16、又因为，AB，AD 平面ABCD，所以平面ABCD 又因为平面PAD，所以平面平面（2）解：因为，所以AP，AB，AD两两互相垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，假设线段PC上存在一点E，使二面角的余弦值为设，则，即所以，平面PAD的一个法向量为0，设平面ADE的一个法向量，则有，令，则0，若二面角的余弦值为，则有，由，解得故线段PC上存在一点E，使二面角的余弦值为，且点拨：方法点睛：本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用由二面角的大小求参数求二面角的常用方法：（1）定义法：即作出二面角的平面角并证明，然后计算；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用二面角的两个面的法向量的夹角求解
17、二面角21. 在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-，记点P的轨迹为曲线C（I）求曲线C的方程；（II）若过点（-，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由（）曲线C的方程为=1（x2）（II）存在，直线l的方程为.分析：（I）设动点为，直接把斜率之积为用坐标表示出来即可；（II）假设存在符合条件的点，由题意知直线l的斜率不为零，同时设直线l的方程为，把直线方程代入曲线方程，由韦达定理得，同时求得，而平行四边形存在，则有，从而可得点坐标，再代入（I）中所求曲
18、线方程可求得参数值，说明假设正确解答：解：（）设P（x,y）,有=-得=-整理得=1（x2）曲线C的方程为=1（x2）（II）假设存在符合条件的点E（）由题意知直线l的斜率不为零设直线l的方程为x=my-点M坐标为（）、点N坐标为（）由得：（+2）-2my-2=0,0+则+=-由四边形OMEN为平行四边形，得到E（-）把点E坐标代入曲线C的方程得：-4=0，解得直线l的方程为点拨：本题考查求曲线方程，方法是直接法，考查椭圆中的存在性问题，解题方法是设而不求法，即设交点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程后用韦达定理，再把此结论代入题意存在的点所满足的几何条件求出参数即可22. 已知函数f （
19、x）=axex（aR），g（x）=（）求函数f （x）的单调区间；（）x0（0，+），使不等式f （x）g（x）ex成立，求a的取值范围（）答案见解析（）试题分析：（）f（x）=aex，xR对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（）由x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，即a设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出解：（）f（x）=aex，xR当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递减；当a0时，令f（x）=0得x=lna由f（x）0得f（x）的单调递增区间为（，lna）；由f（x）0得f（x）的单调递减区间为（lna，+）（）x0（0，+），使不等式f（x）g（x）ex，则，即a设h（x）=，则问题转化为a，由h（x）=，令h（x）=0，则x=当x在区间（0，+） 内变化时，h（x）、h（x）变化情况如下表：由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
