1、安徽省太和一中2021届高三数学上学期开学摸底检测试题 理本试卷4页总分150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2设，若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线上，则（ ）A B0 C1 D23设，则的大小关系
2、是（ ）A BC D41927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是俩数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1右图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a的值为3，则输出结果为（ ）A6 B7 C8 D95函数的部分图象大致为（ ）A BC D6某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：你最喜欢的社团类型是什么？您选哪一项？（单选）A体育类如：羽毛球、足球、毽球等B科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等C艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等D
3、文化类如：公关演讲、书法、文学社等E其他 由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（ ）A500，28.8 B250，28.6 C500，28.6 D250，28.87已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（ ）A B C D8已知，设，若，则的值为（ ）A0 B C1 D9如图，A，B，C，D四点共圆，M，N在线段上，且，N是的中点设，则下列结论正确的是（ ）A BC D10在菱形中，将沿对角线折起使得二面角的大小为60，则折叠后所得四面体的外接球的半径为（ ）A B C D11已知函数，直线分别交函数和
4、的图象于点A和点B若对任意都有成立，则实数m的取值范围是（ ）A B C D12已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）A B C2021 D二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13若实数x，y满足则的最小值为_14在中，则的外接圆的半径等于_15已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为_16过椭圆上一点P及坐标原点O作直线l与圆交于A，B两点若存在一点P满足，则实数a的取值范围是_三、解答题：共70分解答
5、应写出文字说明证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列的前n项和为，点在抛物线上（1）求；（2）求数列的前n项和18（12分）近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占，而务农户中对新政策满意的占满意不满意总计非务农100务农总计（1）完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前
6、提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635参考公式：，其中19（12分）如图，四边形是菱形，平面（1）证明：P，E，C，G四点共面（2）若，求二面角的正弦值20（12分）已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点（1）求E的标准方程；（2）设点M在E
7、上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值21（12分）已知函数（1）求的单调区间（2）若在区间上不单调，证明： （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）（1）若，求的普通方程；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若与相切，求实数a的值23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程有实数解，求实数k的取值范围理科数学一、选择题1B 【解析】因为集合，所以，
8、2B 【解析】因为复数在复平面内对应的点位于直线上，所以，所以3A 【解析】，故4C 【解析】310516842112345678所以输出的结果为5C 【解析】因为，所以是偶函数，排除A，D；，排除B6A 【解析】设接受调查的学生的总人数为x，由调查结果条形图可知选择A的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A的人数比例为15%，所以，解得，而选择D的人数为：，扇形统计图中E的圆心角度数为：7D 【解析】由题意知，则，可知，则设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为8C 【解析】根据题意，设，则，则，因为，即，即，所以，所以向量，的夹角为，9C 【解析】连接，如图所示
9、，易知是圆的直径因为，所以在中，故A不正确；在中，又因为，所以，故D不正确；，故B不正确；因为，所以又因为，易知与全等，所以，所以又因为N是的中点，所以，所以，所以，所以，故C正确10A 【解析】如图，取的中点记为O，连接，根据题意需要找到外接球的球心，取上离O点近的三等分点记为E，同理取上离O点近的三等分点记为F，自这两点分别作平面、平面的垂线，交于点P，则P就是外接球的球心，连接，易证就是二面角的平面角，所以是边长为的等边三角形，所以在中，所以又，所以11D 【解析】由题意，设，则问题可以转化为在区间内因为，所以在区间上单调递增，所以因为，所以，所以，即12A 【解析】令，得又因为，所以由
10、，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以二、填空题13 【解析】由约束条件作出可行域，由，得，作直线，将直线l平移经过M点时在y轴上的截距最小此时14 【解析】在中，易求又，由余弦定理可得，解得设外接圆的半径为r，则由正弦定理，得，所以15 【解析】可分为三种情况：乙选两张印着数字3的卡片给甲；乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以16 【解析】如图所示又因为，所以若存在一点P，使得，即，解得三、解答题17解：（1）因为点在抛物线上，所以，所以当时，； （1分）当时 （3分）所以 （4分）（2）易求 （5分）当时，； （7分）当
11、时， （11分）综上， （12分）18解：（1）根据已知数据得到如下列联表:满意不满意总计非务农7030100务农5050100总计12080200 （1分）根据列联表中的数据，得到的观测值， （3分）所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关 （4分）（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是 （5分）由题意知， （6分）， （9分）所以X的分布列为X012345P （10分） （12分）19（1）证明：如图，取的中点M，连接 （1分）因为，所以，所以四边形
12、是平行四边形，所以 （2分）由题意知，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以 （3分）所以四边形是平行四边形，所以P，E，C，G四点共面 （4分）（2）解：因为平面，所以平面在中，由余弦定理得，所以，所以 （5分）以A为坐标原点，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则 （6分）设平面的法向量为，则即 （7分）令，得所以 （8分）设平面的法向量为，则即 （9分）令，得所以 （10分）设二面角的平面角为，所以，所以， （11分）所以二面角的正弦值为 （12分）20解：（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以又因为，解得故椭圆E的方程为 （3分）（2）设点因为，且A，D，M三点共线
13、，所以，解得， （4分）所以，同理得， （5分）因此 （7分）因为点在椭圆上，所以，即，代入上式得 （8分）设过点M且与直线平行的直线l的方程为，当l与椭圆相切时，消元整理得， （9分）所以，解得 （10分）所以直线l的方程为所以 （11分）所以的面积的最大值为 （12分）21（1）解：由题意， （1分）令当时，此时，函数在R上单调递减； （2分）当时，令，则，当时，所以单调递减， （3分）当时，所以单调递增， （4分）当时，所以单调递减 （5分）综上所述，当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为 （6分）（2）证明：由（1）知，因为，所以，得
14、， （7分）要证，只需证 （8分）对于函数，有因为在R上单调递增，且，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时“=”成立，故当时，即 （10分）因为且，所以，可得，所以 （11分）由+得，故得证 （12分）22解：（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），消去，所以 （3分）（2）曲线的参数方程为（为参数），消去可得，所以曲线是圆心为，半径为2的圆 （4分）曲线的极坐标方程为，可化为 （6分）若与相切，则的圆心到的距离等于的半径，即， （8分）解得或 （10分）23解：（1）原不等式等价于或或 （3分）解得或或， （6分）所以不等式的解集为 （7分）（2）因为， （8分）方程，即函数与的图象有交点，只需， （9分）解得或所以实数k的取值范围为 （10分）
