1、5.1.2弧度制目标 1.知道弧度制；2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式；3.能进行弧度与角度的互化重点 弧度与角度的互化难点 1弧度角的概念的理解知识点一角的单位制 填一填(1)角度制(2)弧度制答一答1扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关2在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该
2、角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系 填一填(1)正角：正角的弧度数是一个正数(2)负角：负角的弧度数是一个负数(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.答一答3判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同()4角6这种表达方式正确吗？提示：正确角6表示6弧度的角，这里将“弧度”省去了知识点三角度与弧度的互化 填
3、一填答一答5在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如2k30，kZ是不正确的写法，应写成2k，kZ或k36030，kZ.知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式 填一填扇形的半径为R，弧长为l，(02)为圆心角，则扇形弧长为lR，周长为l2R，扇形面积SlRR2.答一答6角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l，扇形面积公式S.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前
4、提是为弧度制类型一弧度制的概念 例1有关角的度量给出以下说法：1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角等于1度的角；180的角一定等于 rad的角；“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位其中正确的说法是_解析由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，均正确；因为1 rad57.301，故不正确答案解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系变式训练1下列说法中，错误的是(D)A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：由弧度制的定义知D说
5、法错误故选D.类型二角度制与弧度制的互化 命题视角1：角度制与弧度制的换算例2将下列角度与弧度进行互化：(1)36；(2)11230；(3)；(4).解(1)3636 rad rad；(2)11230112.5112.5 rad rad；(3)105；(4)396.将角度转化为弧度时，在把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.变式训练2(1)630化为弧度为；(2)15730；(3)3 rad，它是第三象限角解析：(1)630630.(2)15730.(3)根据角度制与弧度制的换算，1 rad，则3 rad171.9.分析可得，是第三
6、象限角命题视角2：用弧度制表示终边相同的角例3(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0,4中找出与角终边相同的角解(1)因为1 4801 480 rad rad，所以10 ，其中.(2)因为18072，所以终边与角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.所以在0,4中与角终边相同的角为，.用弧度表示的与角终边相同的角的一般形式为2k(kZ)，这些角所组成的集合为|2k，kZ.变式训练3将下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出它们是第几象限角(1)1 725；(2)870.解：(1)因为1 725536075，所以1 72510.所以1 72
7、5与的终边相同，故1 725是第一象限角(2)8704，角870与终边相同，故870是第二象限角类型三弧长公式与扇形面积公式 例4(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin2C.D2sin1(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积分析(1)求弧长圆心角和弦长构造三角形利用三角函数(2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积lR或SlR.解析(1)如图，过点O作OCAB于C，延长OC，交于D，则AOCBOC1 rad，且ACAB1.在RtAOC中，OA.圆心角所对的弧长lOA
8、，故选C.(2)解：设扇形圆心角的弧度数为(02 rad(舍去)当r4时，l2(cm)，此时， rad.设扇形弧长为l，因为7272(rad)，所以lR208(cm)所以SlR82080(cm2)答案(1)C(2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.变式训练4已知一扇形的周长为8 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2rl8，l82r，Slrr(82r)r24r(r2)24(0r4)当r2时，Smax4 cm2，此时l4
9、 cm，2.所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为4 cm2.12 100化成弧度是(A)A.B10 C.D.解析：2 1002 100.2角的终边所在的象限是(D)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：4，的终边位于第四象限，故选D.3与角终边相同的角是(C)A.B.C.D.解析：与角终边相同的角的集合为|2k，kZ，当k1时，2，故选C.4在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2rad.解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为2 rad.5已知800.(1)把改写成2k(kZ,02)的形式，并指出的终边在第几象限；(2)求 角，使
10、与角的终边相同，且.解：(1)8003360280，280，(3)2，角与的终边相同，是第四象限角(2)与角终边相同的角为2k，kZ，与终边相同，2k，kZ.又，2k，当k1时，不等式成立，2.本课须掌握的三大问题1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度
