1、15 全称量词与存在量词15.1 全称量词与存在量词目标 1.理解全称量词、存在量词和全称量词命题、存在量词命题的概念；2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即，)来表述相关的数学内容重点 对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题难点 全称量词命题与存在量词命题的真假判断知识点一 全称量词和全称量词命题填一填(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)全称量词命题：定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题一般形式：全称量词命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，
2、读作“对任意x属于M，有p(x)成立”其中 M 为给定的集合，p(x)是一个关于 x 的命题答一答1常见的全称量词有哪些？提示：常见的全称量词除了“所有的”“任意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等2全称量词命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？提示：元素 x 可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合 M 是这些元素的某一特定的范围p(x)表示集合 M 的所有元素满足的性质如“任意一个自然数都不小于 0”，可以表示为“xN，x0”3如何判断全称量词命题的真假呢？提示：要判定全称量词命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中每一个元素 x，
3、证明 p(x)成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题知识点二 存在量词和存在量词命题填一填(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)存在量词命题：定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题一般形式：存在量词命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”答一答4常见的存在量词有哪些？提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等5如何判断存在量词命题的真假呢？提示：要判定
4、存在量词命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个存在量词命题是假命题类型一 全称量词命题与存在量词命题的判定【例 1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题(1)凸多边形的外角和等于 360；(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；(3)至少有一个三角形没有外接圆；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直【分析】首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则根据量词确定命题是全称量词命题或者是存在量词命题；若没有，要
5、结合命题的具体意义进行判断解(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于 360，故为全称量词命题(2)是全称量词命题，“任意”为全称量词(3)是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词(4)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：1首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.2若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.3当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.4一个全称量词命题或存在量词命题往
6、往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合具体问题多加体会.变式训练 1 下列命题中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是(填序号)正方形的四条边相等；有两个角是 45的三角形是等腰直角三角形；正数的平方根不等于 0；至少有一个正整数是偶数类型二 用量词表示命题【例 2】用全称量词或存在量词表示下列语句(1)有理数都能写成分数形式；(2)整数中 1 最小；(3)方程 x22x80 有实数解；(4)有一个质数是偶数【分析】分析命题中所述对象的特征 适当添加全称量词或存在量词解(1)任意一个有理数都能写成分数形式(2)所有的整数中 1 最小(3)存在实数 x0，使 x202
7、x080 成立(4)存在一个质数是偶数由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.变式训练 2 用量词符号表述全称量词命题(1)任意一个实数乘以1 都等于它的相反数；(2)对任意实数 x，都有 x3x2.解：(1)xR，x(1)x.(2)xR，x3x2.类型三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例 3】判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数
8、 x0，使等式 x20 x080 成立解(1)真命题(2)真命题函数 f(x)0 就是满足要求的函数(3)假命题如：边长为 1 的正方形的对角线长 2，它的长度就不是有理数(4)假命题因为 x20 x08x0122314 0，所以等式 x20 x080 不成立1判断全称量词命题xM，px是真命题，要对集合 M 中的每个元素 x，证明 px成立；判断全称量词命题为假命题只需要在集合 M中找到一个元素 x，使得 px不成立，即找反例.2判断存在量词命题xM，px是真命题，只需在集合 M 中找到 x，使得 qx成立即可，即举例加以说明；判断存在量词命题为假命题，需要证明集合 M 中使得 qx成立的元
9、素不存在.变式训练 3 有下列四个命题：xR,2x23x40；x1，1,0,2x10；x0N，x20 x0；x0N*，x0 为 29 的约数其中真命题的个数为(C)A1 B2 C3 D4解析：对于，这是全称量词命题，932230 是真命题；对于，这是全称量词命题，当 x1时，2x10，故该命题为假命题；对于，这是存在量词命题，当 x00 时，x20 x0 成立，该命题为真命题；对于，这是存在量词命题，当 x01 时，x0 为 29 的约数，该命题为真命题故选 C.类型四 素养提升根据全称量词命题、存在量词命题求参数的范围【例 4】已知 y3ax26x1(aR)(1)当 a3 时，求证：对任意
10、xR，都有 3ax26x10；(2)如果对任意 xR，不等式 3ax26x14x 恒成立，求实数 a的取值范围【解】(1)证明：当 a3 时，y9x26x1，因为 364(9)(1)0，所以对任意 xR，都有 y0.(2)因为 3ax26x14x 恒成立，所以 3ax22x10 恒成立，所以a0，0，即a0 对于任意 xR恒成立，并说明理由(2)若存在一个实数 x0，使不等式 m(x202x05)0 成立，求实数m 的取值范围解：(1)存在理由：不等式 m0 x22x50 可化为 m0(x22x5)，即 m0 x22x5(x1)24.要使 m0(x1)24 对于任意 xR 恒成立，只需 m04
11、 即可故存在实数 m0 使不等式 m0 x22x50 对于任意 xR 恒成立，此时需 m04.(2)不等式 m(x202x05)0 可化为 mx202x05，若存在一个实数 x0 使不等式 mx202x05 成立，只需 m(x202x05)min.x202x05(x01)24，(x202x05)min4，m4.所求实数 m 的取值范围是m|m41下列命题是“xR，x23”的另一种表述方式的是(C)A有一个 xR，使得 x23B对有些 xR，使得 x23C任选一个 xR，使得 x23D至少有一个 xR，使得 x23解析：“”和“任选一个”都是全称量词2既是存在量词命题，又是真命题的是(B)A斜三
12、角形的内角是锐角或钝角B至少有一个 xR，使 x20C两个无理数的和是无理数D存在一个负数 x，使1x2解析：如 x0 时，x20，满足 x20.3(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(ABD)AxZ，x22x30B至少有一个 xZ，使 x 能同时被 2 和 3 整除CxR，|x|0D有些自然数是偶数解析：A 中，x1 时，满足 x22x30，所以 A 是真命题；B 中，6 能同时被 2 和 3 整除，所以 B 是真命题；D 中，2 既是自然数又是偶数，所以 D 是真命题；C 中，因为所有实数的绝对值非负，所以 C 是假命题故选 ABD.4下列命题：偶数都可以被 2 整除；角平分线上的任一
13、点到这个角的两边的距离相等；正四棱锥的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内角和大于 180.既是全称量词命题又是真命题的是，既是存在量词命题又是真命题的是(填上所有满足要求的序号)解析：是全称量词命题，是真命题；是全称量词命题，是真命题；是全称量词命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；是存在量词命题，是真命题；是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为 180.5用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假(1)一定有整数 x0，y0，使得 3x02y010 成立(2)所有的有理数 x 都能使13x21
14、2x1 是有理数(3)存在一对实数(x，y)，使 2xy10 成立解：(1)x0，y0Z,3x02y010；真命题(2)xQ，13x212x1 是有理数；真命题(3)(x，y)，xR，yR,2xy10，是真命题如 x0，y2 时，2xy102110 成立本课须掌握的两大问题1理解全称量词命题及存在量词命题时应注意的问题：(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”(2)有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有的”“存在”等2全称量词命题与存在量词命题的区别：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”(2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”
