1、河南省焦作市沁阳市第一中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、选择题1.若，且，则下列不等式中，恒成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，故D正确考点：不等式的性质2.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.3.等差数列的前项和为，等比数列中，则的值为（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的求和公式和等差中项的性质可求得、的值，进而可得出、的值，可计算出等比数列公比的平方，进而可求得的值.【详解】由题意可得，可得，可得，所以，设等比数列的公比为，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查等比数列中相关项的计算，同时也考查了等差数列求和公式和等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.4.在中，已知，这个三角形解的情况是（ ）A. 一解B. 两解C. 无解D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理：和三角形内角和定理，即可求得答案.【详解】，根据正弦定理：由，可得故违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.故选：C.【点睛】本题考查根
3、据正弦定理判断三角形解的情况问题，解题关键是掌握在三角形中“大边对大角 ”，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.在中，角所对的边分别为若，则为（ ）A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得为钝角，即可求得答案.【详解】根据正弦定理：，整理可得，故，即为钝角，则为钝角三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法，属于基础题.6.已知是的内角，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件
4、D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由是的内角，得出，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：是的内角，所以，若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充要条件，涉及到三角函数公式，属于基础题.7. 下列结论中，正确的是（ ）命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；已知为非零的平面向量甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；是周期函数，是周期函数，则是真命题；命题的否定是：A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；，所以是正确的；中，乙：，根据向
5、量的数量积公式，能推出甲：的等价条件是，反之推不出，所以是正确的；中，不是周期函数， 所以是假命题；中，根据存在性命题的否定可知：命题的否定是：，所以是正确的考点：全称命题与存在命题；命题的否定8.已知命题存在，当时，；命题任意，则下列命题是假命题的是（ ）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】B【解析】【分析】由基本不等式判断命题为假命题，再由一元二次不等式方得到命题为真命题，再判断各个选项的真假即可.【详解】对命题，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立，所以，故不可能等于3，命题为假命题；对命题，对任意，恒成立，故命题是真命题；所以或为真命题；且为假命题；或为真命题；且为真命题.故选：
6、B【点睛】本题主要考查复合命题真假的判断、基本不等式的应用和一元二次不等式的应用，属于中档题.9.如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在中，利用余弦定理可求，根据同角的三角函数的基本关系式求出后在中利用正弦定理可求.【详解】设，在中，因为为三角形的内角，.在中，由正弦定理知.故选：D.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量10.已知函数，若数列前项和为，则的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由得到，然后利用裂项相消法求得的值考点：数列求和【易错点
7、睛】利用裂项相消法求和的注意事项（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等11.已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点.若三棱锥的体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当三棱锥的体积最大时，到平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得；代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设球的半径为，则，当三棱锥的体积最大时，到平面的距离为，则，解得，球的表面积为：.故选：C.【点睛】本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够明确三棱锥体积最大
8、时顶点到底面的距离为，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.12.已知函数若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数化简，根据在区间内单调递增，建立不等式关系，的图象关于直线对称，根据对称的性质，可得等式，从而可以求出的值【详解】函数即：内单调递增，解得：函数的图象关于直线对称，当时，函数取得最值，即令，可得，检验满足故选：B【点睛】本题解题关键是掌握正弦函数图象特征和正弦两角和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二填空题13.在中，角所对的边分别为若，则_【答案】1【解析】【分析】由边化角可得，
9、进而得到，最后化简可得结果.详解】由得：，又，所以：故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用，考查同角三角函数关系，考查计算能力，属于常考题.14.若命题“存在实数，使”的否定是假命题，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】【分析】特称命题的否定是假命题，即原命题为真命题，得到判别式大于0，解不等式即可【详解】命题“存在实数，使”的否定是假命题，原命题为真命题，即“存在实数，使”为真命题，或，故答案为：或.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查分析和计算能力，属于常考题.15.若实数满足不等式组，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，表示的是可行域内点与
10、点连线的斜率，通过分析即可得解.【详解】先画出不等式组表示的可行域，如下图阴影部分：由，可得点，由，可得点，表示的是可行域内点与点连线的斜率，显然，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查简单线性规划，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16.已知为正实数，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】易得，然后再利用基本不等式的变形求出最大值即可.【详解】因为为正实数，由可得，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于常考题.三、解答题17.已知命题函数的定义域为；命题不等式在上恒成立，若命题且是假命题，命题或为真命题，求的取值范围【答案】.【解析】
11、【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，若命题p成立，转化求恒成立时的取值范围；若命题q成立，分离参数得，根据单调性即可求出的范围；最后根据复合命题的真假关系，求得a的取值范围.【详解】对于命题p：在上恒成立，若不合题意，若，则，解得；对于命题q：在上恒成立，函数在为增函数，命题且为假命题，命题或为真命题，等价于p，q一真一假，若p真q假，则，不等式无解，若p假q真，则，的取值范围.【点睛】本题重点考查的是复合命题的相关知识，掌握真值表是解答此类题目的关键，解答本题的难点在于得到p、q一真一假，从而为解答本题奠定了基础.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求A；（2）若，求
12、sinC【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、两角和差正弦公式可得关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）即：由正弦定理可得： （2），由正弦定理得：又，整理可得： 解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即 由，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.19.请解决下列问题（1）求不等式的解
13、集；（2）设函数，若存在使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分类讨论的值，去掉绝对值，求解不等式即可；（2）将不等式的恒成立问题转化为的最值问题，分类讨论的值，去掉绝对值，得出的最小值，即可得出实数的取值范围【详解】（1）当时，则，解得当时，则，无解当时，则，解得所以该不等式的解集为或（2）若存在使不等式成立，即的最小值小于等于当时，当时，当时，所以当时，所以函数的值域为所以函数的最小值为，所以【点睛】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式，求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.20.已知数列满足，且，数列满足.（1）证明：数列等比数列，并求其通项公式 ；
14、（2）求数列的前项和，求使得成立的的最小值【答案】（1）证明见解析，且；（2）.【解析】【分析】（1）由可得出，然后利用等比数列的定义证明出为非零常数，确定数列的首项，进而可得出数列的通项公式；（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法求得，然后解不等式即可.【详解】（1），则，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则；（2），解得，由的，解得.因此，满足成立的的最小值为.【点睛】本题考查利用定义证明等比数列，同时也考查了分组求和法，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知函数（1）求函数的最小值及取最小值时的值;（2）在的三个内角的对边，且若，求，的值【答案】（1）当时，函数有最小值
15、，（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，根据正弦函数的图像与性质求出的最小值，以及此时的值即可.（2）由以及（1）得出的的解析式，根据的范围，求出的范围，利用特殊角的三角函数值求出的值，利用正弦定理化简，得出；再利用余弦定理列出关于与的方程，两方程联立即可求出与的值.【详解】（1），的最小值为，当且仅当，即，取得最小值；（2），即，即，则由余弦定理得：，即，又解得.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、正弦定理以及余弦定理解三角形，需熟记公式与定理，属于基础题.22.已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列（1）求、的值；（2）证明: 数列是等比数列；（3）求数列的前项和【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用数列是公差为的等差数列，推导出，再由递推公式可计算出、的值；（2）利用递推公式证明出为非零常数，即可证得结论；（3）求得数列的通项公式，利用分组求和法和错位相减法可求得数列的前项和.【详解】（1）数列是公差为的等差数列，即又，（2）由题意，得，又，数列是首项为，公比为等比数列；（3）由（2）得，即设，则，得，于是，.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用定义证明等比数列，以及利用错位相减法和分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
