1、温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试数学试题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虛部是（ ）A. B. C. D. 23. 浙江大学2022年部分专业普通类平行志愿（浙江）录取分数线如下表所示，则这组数据的第85百分位数是（ ）专业名称分数线专业名称分数线人文科学试验班663工科试验班（材料）656新闻传播学类664工科试验班（信息）674外国语言文学类665工科试验班（海洋）651社会科学试验班668海洋科学653理科试
2、验班类671应用生物科学（农学）652工科试验班664应用生物科学（生工食品）656A. 652B. 668C. 671D. 6744. 若，则（ ）A. 5B. C. 3D. 5. 一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（ ）A. 3.8分B. 4分C. 4.2分D. 4.4分6. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，
3、则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）A 3hB. 4hC. 5hD. 6h7. 已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（ ）A. 1B. C. D. 28. 在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 一组样本数据的平均数为，标准差为s另一组样本数据，的平均数为，标准差为s两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）A. B. C. D
4、. 10. 已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）A. 在上的投影向量为B. 的最小值是C. 若，则D. 若，则11. 已知实数a,b满足:且,则（ ）A. B. C. D. 12. 若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ）A B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中的横线上13. 在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于_（写出一个值即可）14. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为_15. 已知，是椭圆
5、C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为_16. 定义在R上的函数满足，若，则_，_四、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列是等差数列，且，成等比数列给定，记集合元素个数为（1）求，的值；（2）求最小自然数n的值，使得18. 记锐角的内角的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若，求的最大值19. 如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由（2）求平面和平面夹角的余弦值20. 2021年11月10日，在英国举办的联合国气候变化
6、框架公约第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统（1）动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，（）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然
7、后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.8
8、791082821. 已知双曲线的左右焦点分别为，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点（1）求的值；（2）若直线，的斜率分别为，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由22. 已知，函数的最小值为2，其中，（1）求实数a的值；（2），有，求的最大值.普通高中2023届高三第一次适应性考试数学试题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【详解】因，所以，因为，所以，故选：B2. 若复数z满足，其
9、中i为虚数单位，则复数z的虛部是（ ）A. B. C. D. 2【详解】由已知，故，故z的虛部是2.故答案为：D3. 浙江大学2022年部分专业普通类平行志愿（浙江）录取分数线如下表所示，则这组数据的第85百分位数是（ ）专业名称分数线专业名称分数线人文科学试验班663工科试验班（材料）656新闻传播学类664工科试验班（信息）674外国语言文学类665工科试验班（海洋）651社会科学试验班668海洋科学653理科试验班类671应用生物科学（农学）652工科试验班664应用生物科学（生工食品）656A. 652B. 668C. 671D. 674【详解】这12个数从小到大依次为651，652，
10、653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，因为，所以这组数据的第85百分位数是第11个数671，故选：C.4. 若，则（ ）A. 5B. C. 3D. 【详解】，则故选：B.5. 一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（ ）A. 3.8分B. 4分C. 4.2分D. 4.4分【详解】由题意的取值是3，4，5，故选：C6. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h
11、）之间的关系为：（其中，k是正常数）已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）A. 3hB. 4hC. 5hD. 6h【详解】由题意可知，所以，又因为，所以，所以，比较接近3，故选：A7. 已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（ ）A. 1B. C. D. 2【详解】设，切点为，由，得，则，所以在点处的切线方程为，即，因为，所以在点处的切线方程为，即，因为，所以因为两切线都过点，所以，所以直线的方程为，即，所以原点到直线距离为，当且仅当时取等号，所以原点到直线距离的最大值为，故选：B8.
12、在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【详解】设，在等腰中，设的外心是，外接圆半径是，则，设外接球球心是，则平面，平面，则，同理，又平面，所以，是直角梯形，设，外接球半径为，即，则，所以，在直角中，令，则，当且仅当，时等号成立，所以的最小值是故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 一组样本数据的平均数为，标准差为s另一组样本数据，的平均数为，标准差为s两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）A B. C. D. 【详解】由题
13、意，同理两式相加得，所以，故选：BC10. 已知向量，其中，则下列命题正确的是（ ）A. 在上的投影向量为B. 的最小值是C. 若，则D. 若，则【详解】，在上的投影向量为，A正确；，所以时，取得最小值，B正确；，无法判断的符号，C错误；，则，D正确故选：ABD11. 已知实数a,b满足:且,则（ ）A. B. C. D. 【详解】解:由题知,当且仅当时取等,故有:关于选项A,构造,所以在上单调递增,即,故选项A正确;关于选项B,不妨取代入,可得不成立,故选项B错误;关于选项C,故选项C正确;关于选项D,构造,令,在单调递减,当时，,即即单调递减,即,故选项D正确.故选:ACD12. 若函数的
14、图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（ ）A. B. C. D. 【详解】A，时，取得最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；B，时，此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；C，时，过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；D，令，则，所以即是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在
15、题中的横线上13. 在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于_（写出一个值即可）【详解】因为，令，即，得，即，则图象与x轴的所有交点为，因为其中点离原点最近，所以恒成立，不等式两边平方整理得，当时，因为，故恒成立；当时，即恒成立，因为，则，故；当，即时，显然上述不等式恒成立，综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.故答案为：（答案不唯一）.14. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为_【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，故，而平面，平面，故平面，故直线FC到平面的距离为即为到平面的距离.设平面的法向量为，又，故，
16、取，则，而，故到平面的距离为，故答案为：.15. 已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为_【详解】因为，所以，所以当时，取得最大值，因为，所以的最小值为，因为的最大值是它的最小值的2倍，所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故答案为：.16. 定义在R上的函数满足，若，则_，_【详解】解：因为，所以，所以，则，所以是以为周期的周期函数，所以，又，所以，又，所以，即且，由，所以，所以.故答案为：；四、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列是等差数列，且，成等比数列给定，记集合的元素个数为（1）求，的值；
17、（2）求最小自然数n的值，使得【小问1详解】设数列的公差为，由，成等比数列，得，解得，所以，时，集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；【小问2详解】由（1）知，时，=20012022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.18. 记锐角的内角的对边分别为，已知（1）求证：；（2）若，求的最大值【小问1详解】证明：由题知，所以，所以,所以因为 为锐角，即 ，所以，所以，所以.【小问2详解】由（1）知：，所以，因为，所以，因为由正弦定理得：，所以,所以，因为 ，所以，所以因为是锐角三角形，且，所以 ，所以，所以，当时，取最大值为 ，所以最大值为： .19. 如图，线段是圆柱的母线，是圆
18、柱下底面的内接正三角形，（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由（2）求平面和平面夹角的余弦值【小问1详解】如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，因为，平面，平面，则 平面同理可证平面，且平面，平面所以平面平面，又因为平面，所以平面故存在点满足题意.因为为底面的内接正三角形，所以，即，又因为，所以的半径为，所以劣弧的长度为.【小问2详解】如图取的中点为，连接，以为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，又因为，设中点为.故， ， ，易知平面的法向量设平面的法向量为 ，又因为，故 即，令得易知平面和平面夹角为锐角，所以平面和平面夹角的余弦值为20.
19、2021年11月10日，在英国举办的联合国气候变化框架公约第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统（1）动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，（）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；（）动力总成系统制造完成之后还要
20、经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访统计了100名用户的数据，如下表：对续航能能力是否满意产品批次合计技术革新之前技术革新之后满意285785不满意12315合计4060100试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？参考公式：，0.10.050.010.
21、0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【小问1详解】（）由题意得在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率为；（）设自动化检测合格为事件，人工检测为合格品为事件，则，所以；【小问2详解】根据题意得，所以有有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.21. 已知双曲线的左右焦点分别为，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点（1）求的值；（2）若直线，的斜率分别为，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【小问1详解】由已知，设，；【
22、小问2详解】设，（），直线的方程是，设，代入双曲线方程得，即，同理的方程为，设，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：，由得，整理得，存在或满足题意【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，代入到式子中，最后利用已知条件求得，若求不出结果说明不存在本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题22. 已知，函数的最小值为2，其中，（1）求实数a的值；（2），有，求的最大值【小问1详解】由题意知，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，解得，经检验，符合题意.故.【小问2详解】由，得，即，对于，可得不等式R上恒成立，即在R上恒成立，设，则，若，则，函数在R上单调递增，且，符合题意；若，令，令，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由，得，即；对于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，设，则，若，则，函数在上单调递增，不符合题意；若，令，令，所以上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，即.当时，无法确定最大值，当时，由得，即，综上，的最大值为1.
