1、陕西省西安交大附中、龙岗中学2021届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）一选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合N，然后求，【详解】解：因为，所以，故选：D【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数函数的值域，属于基础题2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】即中至少有一个是零；复数为纯虚数，故为小范围，故为必要不充分条件.3. 已知三条不重合的直线,两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是( )A. 若,且,则B. 若,
2、则C. 若，,则D. 若,，则【答案】A【解析】【分析】利用垂直于同一直线两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】l，lm，m，m，A正确；mn，n，有可能m，B错误；m，n，m，n，m、n不一定相交，、不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件4. 2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，
3、引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过（ ）天能达到最初的16000倍（参考数据；ln1.0500.0488，lnl.50.4055，ln16007.3778，ln160009.6803）A. 198B. 199C. 197D. 200【答案】B【解析】【分析】设过天能达到最初的16000倍，得到方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】设过x天能达到最初的16000倍，由已知可得，N0（1+0.05）x16000N0，所以x198.4，又xN，故x199天能达到最初的16000倍故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，
4、其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.5. 设实数、满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 2B. 0C. -4D. -2【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【详解】作出约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大将A（1，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=21+0=2即z=2x+y的最大值为2故选A【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决
5、线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6. 若双曲线的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意有，结合即可求双曲线的离心率.【详解】由题意知：抛物线焦点为，而双曲线焦点，由线段被抛物线焦点分成两段，整理得：，而，故选：A【点睛】本题考查了求双曲线离心率，应用双曲线、抛物线方程以及参数间的关系求离心
6、率，属于基础题.7. 已知，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可【详解】解：因为，所以，当且仅当，即取等号，所以，所以的最小值为，故选：C【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题8. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量，由求解.【详解】因为向量，所以向量在向量方向上的投影为：，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及投影问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9. 在直三棱柱中，则该直三棱柱的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
7、析】【分析】由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，而正方体外接球的直径是正方体的对角线，从而可得答案【详解】解：因为直三棱柱中，所以将直三棱柱补成棱长为4的正方体，如图所示直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为，则，解得，所以外接球的体积为，故选：B【点睛】此题考查求直三棱柱外接球的体积，考查数学转化思想，属于基础题10. 设的内角的对边分别为，且，则是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先由降幂公式得，再由正弦定理得，众而得，于是有或，从而可得结论【详解】解：因为，所以
8、，所以由正弦定理得，所以，因为所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形故选：D【点睛】此题考查三角函数的降幂公式的应用，考查正弦定理的应用，属于基础题11. 已知数列前项和是，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件判断出数列奇数项和偶数项为等比数列，由此求得.【详解】依题意，故，故数列（）是首项为，公比为的等比数列；数列（）是首项为，公比为的等比数列.所以.故选：C【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查等比数列前项和公式，属于中档题.12. 下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（ ）的解集是；是极大值，是极小值；没有最大值，也没有最小值；有最大值，
9、没有最小值；有最小值，没有最大值.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】直接不等式可判断；对函数求导，求函数的极值，可判断；利用导数求函数的最值可判断【详解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以正确；由，得，令，则，解得或，当或时，当时，所以是极小值，是极大值，所以错误；因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以正确，错误，故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题二填空题13. 命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论.【详解】原命题
10、是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，除了形式上的否定外，还要注意否定结论，属于基础题.14. 一块外表面均被涂为红色的正方体被分成64个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀混合，则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是_.【答案】【解析】【分析】结合图形分析出没有涂红色、一面涂红色、两面涂红色和三面涂红色的小正方体个数，再结合概率公式即可求解【详解】根据题意，在得到的64个小正方体中， 每个面上仅有一面涂成红色的正方体个数为4个，故6个面共有（个）其余的都是一面涂油漆的，所以，在64个小正方体中，任取一个其两面涂
11、有油漆的概率为：故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的计算公式，考查学生的分类讨论思想，属于基础题15. 已知函数，对任意的都存在，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题可知，在区间上函数的值域为值域的子集，从而求出实数的取值范围.【详解】函数的图象开口向上，对称轴为，时，的最小值为，最大值为， 的值域为.为一次项系数为正的一次函数，在上单调递增，时，的最小值为，最大值为， 的值域为.对任意的都存在，使得，在区间上，函数的值域为值域的子集，解得故答案为.【点睛】本题考查函数的值域，考查分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的正确理解，确定两个函数值域之间的关系.1
12、6. 已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最小值时，双曲线的实轴长为_.【答案】6【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，根据圆与双曲线的一条渐近线与相切，得到，则，令，利用导数法求解即可.【详解】已知双曲线的一条渐近线方程为，因为圆与双曲线的一条渐近线与相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以，即，所以，令，所以，当时，递减，当时，递增，所以当时，取得最小值，所以双曲线的实轴长为6故答案为：6【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，直线与圆的位置关系以及导数法研究函数的单调性与最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三解答题17. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期
13、和对称轴；（2）设的内角的对边分别为，满足，且的面积为，求的值.【答案】（1）最小正周期为，对称轴为：；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数式可得即可求的最小正周期和对称轴；（2）利用三角形面积公式、余弦定理有，即可求的值.【详解】（1）解：，函数的最小正周期为；而对称轴为，函数的对称轴为：.（2）且，则，由，可知，由余弦定理及，可知；结合：.【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，利用三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质求周期、对称轴，并应用三角形面积公式、余弦定理解三角形，属于中档题.18. 已知数列的前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设()，求数列的前项
14、和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由得，可得是等比数列，进而可求数列的通项公式（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列的前项和.【详解】（1）当时，所以；当时，所以，于是；所以，是首项为3，公比是3的等比数列，于是，.（2），【点睛】本题考查数列的通项问题，以及数列的错位相减求和问题，其中错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以，本题属于中档题19. 定义椭圆()的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；（2）若斜
15、率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为；（2）.【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，从而求得椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程.（2）设，联立直线的方程和椭圆的方程，结合求得.求得圆心到直线的距离，求得，由此求得.【详解】（1）抛物线的焦点为，则，又，且，所以，于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为.（2）设直线：，由可得：，令可得：，. “蒙日圆”方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，.于是，.【点睛】本小题主要考查椭圆、抛物线，考查椭圆中的三角形面积问题，
16、属于中档题.20. 如图，已知正方体中，点分别是棱的中点.（1）证明：四点共面；（2）证明：平面平面；（3）若正方体的棱长为2，点是线段上的一个动点，且动直线与平面所成的角记为，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，从而可得=，；再结三角形中位线定理可得四边形平行四边形，从而可证得四点共线（2）由于，而，所以，再由正方体的性质可得，从而可证得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结果；（3）设点到平面的距离为，则，当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，此时最小，再利用等体积法求出，从而可求得结果【详解】（1）连接，因为=，所
17、以四边形是平行四边形，所以=，；又因为是中点，所以，；又因为是中点，所以，；所以，所以四边形平行四边形，所以四点共线.（2）因为是中点，所以，又因为，所以；又因为在正方体中，平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）方法1：设点到平面的距离为，则，当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，此时最小；在中，则记线段的中点为时，；又，又，所以，所以；所以，.方法2：如图，平面平面，则过作，交线段的延长线于点，又由（1）知平面平面，所以；所以动直线在平面上的射影为，则，于是，当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，此时最小，所以.由于是线段的四等
18、分点，则在平面中可知；又由于中，则；于是.【点睛】此题考查证明点共面问题，考查面面垂直的判定，考查直线与平面所成的角，考查推理能力和计算能力，属于中档题21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，然后分，两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；（2）利用导数求最大值小于零即可，或恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数求其最大值即可；（3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立)，当时，有，然后利用累加法可得，当时，有，再利用累加法可得，从而可证得
19、结论【详解】（1）当时，所以在上递增；当时，令，则，当时，；当时，所以在区间上递增，在上递减.（2）方法1：构造函数当时，由（1）在上递增，又，不符合题意，舍；当时，由（1）知在区间上递增，在上递减；所以，解得：.综上：方法2：分离参数恒成立，等价于，设，令，则当时，；当时，所以在区间上递增，在上递减；所以，所以：（3）由(2)知，当时，恒成立，即(仅当时等号成立)当时，即；所以，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；当时，即，即所以，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；综上：当时，.【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决恒成立问题，考查累加法的应用，考查转化
20、思想和计算能力，属于难题22. 在极坐标系中，曲线的方程为.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为，为参数，.（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）的直角坐标方程，曲线的普通方程；（2）.【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，可由极坐标方程直接得出直角坐标方程；根据曲线的参数方程消去参数，即可得出普通方程；（2）由直线的普通方程，先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，结合韦达定理，根据参数下的弦长公式，即可求出结果.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，
21、所以：；又因为：，所以：，即曲线的直角坐标方程.曲线的参数方程为，消去参数，可得曲线的普通方程；（2）由于曲线的直角坐标方程，则，且倾斜角为，设曲线的参数方程为，为参数，且两点的参数分别为，则将曲线的参数方程代入曲线的普通方程可得：，由韦达定理可知：，.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查弦长的计算，属于常考题型.23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）当时，再利用零点分段法分类讨论分别计算可得；（2）依题意可得恒成立，只需要，再利用绝对值三角不等式得到，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：（1）当时，当时，所以；当时，所以；当时，所以；综上：不等式的解集为：.（2）当时，不等式恒成立，即：不等式恒成立，只需要由于，当且仅当时等号成立；即：，所以：，解得：或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.
