1、湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学一模试题（含解析）一、单项选择题（每小题5分）.1若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i2已知集合Px|x25x60，Qx|3x1，则PQ（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x6Dx|6x03圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD24设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底
2、的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，）A990B890C790D6906已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）AB1，2，3，4，5，AB；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A7B8C9D107已知实数a，b，cR，满足，则a，b，c大小关系为（）AabcBacbCbcaDbac8已知ABC
3、中，AB2BC4，AC2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）
4、根据统计图分析，下列结论正确的是（）A当x0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B当x2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C当x4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x2，4）时增长了30%D当x6，8时有害垃圾错误分类的重量相对于当x0，2）时减少了0.6吨10如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A|3|BC与的夹角为30D在方向上的投影为11如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CDs测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，则根据下列
5、各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）As，ACB，BCD，BDCBs，ACB，BCD，ACDCs，ACB，ACD，ADCDs，ACB，BCD，ADC12数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a0）的点的轨迹称为“曲线”C已知点P（x0，y0）是“曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A“曲线”C关于原点O中心对称BC“曲线”C上满足|PF1|PF2|的点P有两个D|PO|的最大值为三、填空
6、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13在（2+）6的展开式中，常数项等于 14已知是函数f（x）asinx+bcosx（a0）的对称轴，则f（x）的对称中心为 15定义函数f（x）xx，其中x表示不超过x的最大整数，例如：1.31，1.52，22当x0，n）（nN*）时，f（x）的值域为An记集合An中元素的个数为an，则值为 16若关于x的方程+xln（ax）20（a0）有解，则正数a的取值范围是 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量（ca，sinB），（ba，s
7、inA+sinC）且（1）求C；（2）若，求sinA18已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a38，S52a7（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求数列bn的前2n项和T2n19如图1，在等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DEBC，记将ADE沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点（1）当EN平面MBD时，求的值；（2）试探究：随着值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角BMDE的正弦值大小20已知函数f（x）lnxa（1）+1（aR）（1）讨论函数f（x）的单
8、调性；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求整数a的最大值21已知椭圆1（ab0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x2a的垂线ME，E为垂足（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线EN过定点P，求定点P的坐标点O为坐标原点，求OEN面积的最大值22某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修（1）当n2，p时，若该电子产品由3个系统
9、G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足2z+32i，其中i为虚数单位，则z（）A1+2iB12iC1+2iD12i解：复数z满足2z+32i，设za+bi，可得：2a+2bi+ab
10、i32i解得a1，b2z12i故选：B2已知集合Px|x25x60，Qx|3x1，则PQ（）Ax|1x0Bx|0x1Cx|0x6Dx|6x0解：集合Px|x25x60x|1x6，Qx|3x1x|x0，PQx|0x6故选：C3圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD2解：圆x2+y22x8y+130的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y10的距离d1，解得：a，故选：A4设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（
11、2）2（3）2，所以“ab”是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选：D5某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，）A990B890C790D690解：如图1
12、，根据题意得：PSO30，CC19，SC111.8，AB26，所以，故SOSC1+C1O11.8+18.230，故在RtPSO中，设POx，则PS2x，SO30，所以|SO|2+|OP|2|SP|2，即：900+x24x2，解得在正四棱锥PABCD中，PO1798，AB26，取BC中点E，连接EP，EO，所以EO13，由正四棱锥的性质得PEO为直角三角形，故|PE|2|PO|2+|OE|2132+82233，所以，所以正四棱锥PABCD的侧面积为故选：C6已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）AB1，2，3，4，5，AB；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有
13、序集合对（A，B）的个数为（）A7B8C9D10解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有4个元素，则1A，4B，4A，1B，此时只有1；若集合A中只有2个元素，则集合B中只有3个元素，则2A，3B，3A，2B，此时有3；若集合A中只有3个元素，则集合B中只有2个元素，则3A，2B，2A，3B，此时有3；若集合A中只有4个元素，则集合B中只有1个元素，则4A，1B，1A，4B，此时有1，有序集合对（A，B）的个数为：1+3+3+18故选：B7已知实数a，b，cR，满足，则a，b，c大小关系为（）AabcBacbCbcaDbac解：因为，则a0，c0，对于函数f（x）xlnx，（x0），f（x）
14、1，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，f（x）（1）10，lnaa，即，令函数h（x），h（x），可得h（x）的图像如下：ab，综上：bac，故选：D8已知ABC中，AB2BC4，AC2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN平面ABM；若NB恒成立，则实数的最大值为（）A1BC2D解：因为AB2BC4，AC2，且点M在线段AB上除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满足CN平面ABM，使NB恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不可为C点，但可用来计算），即CNAB，且NB，因为AB4，可得CN242，CN2（2）2（4
15、）2，所以4212（4）2，解得1，所以的最大值为1故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）根据统计图分析，下列结论正确的是（）A当x0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B当x2，4）时有害垃圾错误分
16、类的重量匀速增长C当x4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x2，4）时增长了30%D当x6，8时有害垃圾错误分类的重量相对于当x0，2）时减少了0.6吨解：根据题意，依次分析选项：对于A，由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项A正确；对于B，当x2，4）时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；对于C，当x4，6）时增长数量比当x2，4）时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；对于D，当x0，2）时共增长2.4吨，当x6，8时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D错误故选：AB10如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A|3|BC与
17、的夹角为30D在方向上的投影为解：因为，所以对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以与的夹角为180，故C错误；对于D，在方向上的投影为，故D错误故选：AB11如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CDs测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）As，ACB，BCD，BDCBs，ACB，BCD，ACDCs，ACB，ACD，ADCDs，ACB，BCD，ADC解：对
18、于A，已知s，ACB，BCD，BDC，在BCD中，利用三角形内角和为180可求得CBDBDCBCD，利用正弦定理，可求得BC，在ABC中，ABBC，由tanACB，即可求AB；对于B，在BCD中，已知一边CD，一角BCD，无法求解三角形，在ABC中，已知两角ABC90，ACB，无法求解三角形，在ACD中，已知一边CD，一角ACD，无法求解三角形；对于C，在ACD中，已知一边CD，两角ACD，ADC，由三角形内角和可求得CAD，由正弦定理可求得AC，在ABC中，已知两角ACB，ABC90，一边AC，利用sinACB，可求得AB；对于D，在ABC中，已知两角ABC90，ACB，由tanACB，可用
19、AB表示BC，由sinACB，可用AB表示AC，在ACD中，已知ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在RtABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在BCD中，已知BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB故选：ACD12数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a0）的点的轨迹称为“曲线”C已知点P（x0，y0）是“曲线”C上一点，
20、下列说法中正确的有（）A“曲线”C关于原点O中心对称BC“曲线”C上满足|PF1|PF2|的点P有两个D|PO|的最大值为解：对A，设动点C（x，y），由题意可得C的轨迹方程为，把（x，y）关于原点对称的点（x，y）代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；对B，因为P（x0，y0），故，又，所以a2sinF1PF22a|y0|，即，故，故B正确；对C，若|PF1|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上故此时x00，代入，可得y00，即P（0，0），仅有一个，故C错误；对D，因为POF1+POF2，故cosPOF1+cosPOF20，因为|OF1|OF2|a，故即，所以又|PF1|P
21、F2|F1F2|2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号故，即|OP|22a2，解得，故D正确故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13在（2+）6的展开式中，常数项等于160解：（2+）6的展开式的通项公式为Tr+126rx3r，令3r0，可得r3，所以常数项为23160故答案为：16014已知是函数f（x）asinx+bcosx（a0）的对称轴，则f（x）的对称中心为（k，0），（kZ）解：f（x）asinx+bcosx（a0）sin（x+），tan是函数f（x）asinx+bcosx（a0）的对称轴，f（0）f（），sin（0
22、+）sin（+）cos，tan1，f（x）sin（x+），由x+k，得：xk，对称中心为（k，0）（kZ）故答案为：（k，0），（kZ）15定义函数f（x）xx，其中x表示不超过x的最大整数，例如：1.31，1.52，22当x0，n）（nN*）时，f（x）的值域为An记集合An中元素的个数为an，则值为解：根据题意，x表示不超过x的最大整数，即x，则有xx，则xx在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，n1；故an1+1+2+3+（n1）1+，（）+（）+（）+（）+（）+（）2（1）；故答案为：16若关于x的方程+xln（ax）20（a0）有解，则正数a的取值范围是1，+）解：因为，即eln
23、（ax）x+1ln（ax）x+1+1有解，由exx+1，当且仅当x0时取等号，可知ln（ax）x+10在区间（0，+）内有解，所以axex1在区间（0，+）内有解，即在区间（0，+）内有解，设，则，易知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，而f（1）1，x0时，f（x）+，x+时，f（x）+，要使在区间（0，+）内有解，只需a1故答案为：1，+）四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量（ca，sinB），（ba，sinA+sinC）且（1）求C；（2）若，求sinA解：（1）向量（ca，sin
24、B），（ba，sinA+sinC）且，（ca）（sinA+sinC）（ba）sinB，由正弦定理可得（ca）（a+c）（ba）b，a2+b2c2ab，cosC，C（0，），C（2）由（1）可得BA，由题设及正弦定理可得：sinC+3sin（A）3sinA，即+cosA+sinAsinA，可得sin（A），由于0，A，cos（A），sinAsin（A+）sin（A）cos+cos（A）sin18已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足a38，S52a7（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求数列bn的前2n项和T2n解：（1）设等差数列an的公差为d，则由题意可得，解得a12，d3，
25、所以数列an的通项公式为a；（2）因为b（1），所以T2n（a2a1）+（a4a3）+（a2na2n1）+（22+23+2n+1）3n+3n+22n+2419如图1，在等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DEBC，记将ADE沿DE翻折到MDE的位置并使得平面MDE平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点（1）当EN平面MBD时，求的值；（2）试探究：随着值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角BMDE的正弦值大小解：（1）取MB的中点为P，连接DP，PN，因为MNCN，MPBP，所以NPBC，又DEBC，所以NPDE，即
26、N，E，D，P四点共面，又EN面BMD，EN面NEDP，平面NEDP平面MBDDP，所以ENPD，即NEDP为平行四边形，所以NPDE，且NPDE，即，即（2）解：取DE的中点O，由平面MDE平面DECB，且MODE，所以MO平面DECB，如图建立空间直角坐标系，不妨设BC2，则，D（，0，0），所以，设平面BMD的法向量为，则，令，即，又平面EMD的法向量，所以，即随着值的变化，二面角BMDE的大小不变且，所以二面角BMDE的正弦值为20已知函数f（x）lnxa（1）+1（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立，求整数a的最大值解：（1）函数f（x）的定
27、义域是（0，+），f（x）lnxa（1）+1（aR），f（x），当a0时，f（x）0对x（0，+）恒成立，当a0时，由f（x）0得xa，由f（x）0得0xa，综上，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增；（2）由f（x）0得lnxa（1）+10，故lnx+1，即a对x（1，+）恒成立，令g（x），则g（x），令h（x）xlnx2，则h（x）1，x1，h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增，h（3）1ln30，h（4）2ln40，故x0（3，4）满足x0lnx020，当1xx0时，h（x）0，g（x）0，当xx0时，h（x）
28、0，g（x）0，故g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+）单调递增，故g（x）ming（x0）x0，故ax0，3x04，aZ，故a的最大值是321已知椭圆1（ab0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x2a的垂线ME，E为垂足（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线EN过定点P，求定点P的坐标点O为坐标原点，求OEN面积的最大值解：（1）根据题意可得，所以a2，b，所以椭圆的方程为+1（2）由题意知，由对称性可知，P必在x轴上，F（1，0），设直线MN的方程为：xmy1，M（x1，y1），N（x2，y
29、2），E（4，y1），联立，得（3m2+4）y26my90，所以y1+y2，y1y2，所以2my1y23（y1+y2），又kEN，所以直线EN的方程为yy1（x+4），令y0，则x4444+，所以直线EN过定点P（，0）由（1）知144（m2+1）0，|y1y2|，所以SOEN|OP|y1y2|，令t，t1，则SOEN，在1，+）上单调递减，所以t1时，SOENmax22某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修（1）当n
30、2，p时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？解：（1）当n2时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，（1分）设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，500X，的分布列为：050010001500P（2）记2k1个元件组成的系统正常工作的概率为pk.2k1个元件中有i个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率在2k1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k+1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少有k+1个元件正常工作，概率为； （b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为； （c）原系统中恰有k1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为因此，故当时，pk单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性
