1、课时作业15导数与函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第208页一、选择题1(2018岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)Cyxex Dyx解析：由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值答案：D2函数y的最大值为()Ae1 BeCe2 D.解析：令y0，解得xe.当xe时，y0；当0x0，所以y极大值f(e)，在定义域内只有一个极值，所以ymax.答案：A3从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3
2、 B72 cm3C144 cm3 D160 cm3解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x，所以y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，所以ymax6122144(cm3)答案：C4已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)则下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()解析：由条件可知当0x1时，xf(x)0，所以f(x)1时，xf(x)0，所以f(x)0，函数递增，所以当x1时，函数取得极小值当x1时，xf(x)0，函数递增，当1x0，所以f(x)0)设g(x)，则g(x)，则
3、g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke，选A.答案：A二、填空题6已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)_.解析：函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，即解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.答案：187要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为_cm.解析：设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，则V(400h2)h(400hh3)，V(4003h2)，
4、由V0，得h.所以当h cm时，V最大答案：8已知函数f(x)x33axb的单调递减区间为(1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是_解析：依题意，f(x)的单调递减区间为(1,1)，由f(x)3x23a3(x)(x)，可得a1，由f(x)x33axb在x1处取得极小值2，可得13b2，故b4.所以f(x)x33x4的极大值为f(1)(1)33(1)46.答案：6三、解答题9(2018湖北七市(州)协作体联考)设nN*，a，bR，函数f(x)b，已知曲线yf(x)在点(1,0)处的切线方程为yx1.(1)求a，b；(2)求f(x)的最大值解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).f
5、(1)a，又切线斜率为1，故a1.由曲线yf(x)过点(1,0)，有f(1)b0.故a1，b0.(2)由(1)知f(x)，f(x).令f(x)0，即1nln x0，解得xe.当0x0，得f(x)在(0，e)上是增函数；当xe时，有f(x)0，所以当0x1时，y1时，y0，即函数yf(x)g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故函数yf(x)g(x)有极小值0，无极大值(2)yf(xg(x)2)(xln x2)2(xln x2)(xln x)25xln x6，令uxln x，当x1，e时，uln x10，所以uxln x在1，e上单调递增，所以0ue，yh(u)u25u6，h(u
6、)图象的对称轴u.h(u)在上单调递减，在上单调递增h(u)minh，又h(0)6，h(e)e25e6，则h(u)max6.所以所求函数的值域为.能力挑战11(2017新课标全国卷)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.解析：(1)f(x)的定义域为(0，)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增又h(e2)0，h0；当x(x0,1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)22.
