1、1.4.3 正切函数的性质与图象 必备知识自主学习 正切函数y=tan x的图象和性质 解析式y=tan x图象 定义域 x|xR,xk,kZ2 且解析式y=tan x值域_周期奇偶性奇函数对称 中心 _,kZ单调性 在开区间_,kZ内都是增函数 k(,0)2(k,k)22 R 应用:比较大小;解三角不等式;求单调区间;求对称中心【思考】(1)从正切曲线上观察,正切函数值是有界的吗?提示:不是,正切函数没有最大值和最小值,正切函数的值域为R.(2)正切函数在整个定义域上都是增函数吗?提示:不是.正切函数在每一个开区间 上是增函数.但在整 个定义域上不是增函数.(kkkZ22 ，)（）(3)可以
2、怎样快速作出正切函数的图象?提示:正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出,三点指的是 两线为直线x=k+和直线x=k-,其中kZ.k0k1)(k1)kZ44 （，），(，22【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)函数y=tan x在其定义域上是增函数.()(2)函数y=tan x的图象的对称中心是(k,0)(kZ).()(3)函数y=tan 2x的周期为.()2.函数f(x)=tan 的单调递增区间为()(x)4A.(k,k),kZ22B.(k,(k1),kZ3C.(k,k),kZ443D.(k,k),kZ44 3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=的最小正周期为
3、_.【解析】因为 即 所以f(x)=2tan 的周期为2.答案:2 2tan(x3)2fx2tan(x3)2tan(x3)22 （），2tanx232tan(x3)22（），(x3)2关键能力合作学习 类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)【题组训练】1.函数y=tan 的定义域为()A.x B.xk+,kZ C.x D.x kZ 2.函数f(x)=tan 的最小正周期是()A.B.2 C.D.(2x)6223k23，(2x)3263.函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性为()A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数【解题策略】(1)求与正切函数有关的函
4、数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还 要保证正切函数y=tan x有意义即x +k,kZ.(2)一般地,函数y=Atan(x+)的最小正周期为T=常常利用此公式来求周 期.(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对 称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.2|，【补偿训练】1.(2020灵宝高一检测)函数y=的定义域是()tan(x)4 A.x|x,xR4B.x|x,xR4C.x|xk,kZ,xR43D.x|xk,kZ,xR4 2.函数f(x)=与函数g(x)=的最小正周期相同,则=()A.1 B.1 C.2 D.2【解析】选A.
5、因为函数f(x)=与函数g(x)=的最小正周期 相同,因此 所以=1.tan(x)4 sin(2x)4 tan(x)4 sin(2x)4 2|2，类型二 正切函数的单调性(逻辑推理)角度1 求正切函数的单调区间 【典例】求函数y=tan 的定义域、最小正周期,并判断它的单调性.【思路导引】函数的定义域根据公式3x-+k,kZ求解,正切函数的最 小正周期T=,利用y=tan x的单调性,令-+k 3x-+k,kZ,求解函 数的单调区间(3x)3323232 角度2 利用正切函数的性质比较大小 【典例】已知a=sin ,b=cos ,c=tan ,则a,b,c的大小关系为()A.bca B.bac
6、 C.cba D.ca0b-1,而c0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令k-x+k+(kZ),求得x的范围即可.(2)若 0,可利用诱导公式先把y=Atan(x+)转化为y=Atan-(-x-)=-Atan(-x-),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的 范围即可.222.比较正切值的大小 第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.【题组训练】1.比较大小:(1)tan 32_tan 215.(2)tan _tan 18528().92.将tan 1,tan 2,t
7、an 3按大小排列为_.(用“”连接)【解析】tan 2=tan(2-),tan 3=tan(3-),因为-2-3-1 ,且y=tan x在 上单调递增,所以tan(2-)tan(3-)tan 1,即tan 2tan 3tan 1.答案:tan 2tan 360,但tan 390tan 60,故D错误,综上可知C正确.课堂检测素养达标(k,k),kZ,22 2x2.已知函数y=tan(2x+)的图象过点 ,则 可以是()A.-B.C.-D.【解析】选A.因为函数的图象过点 ,所以tan =0,所以 +=k,kZ,所以=k-,kZ,令k=0,则=-.(,0)12661212(,0)12()666
8、63.函数f(x)=的定义域为_.【解析】要使函数y=的解析式有意义,自变量x 须满足:2x-k+,kZ,解得x +,kZ,故函数y=的 定义域为 答案:tan(2x)4tan(2x)442k238tan(2x)4k3x|x,kZ28k3x|x,kZ284.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=则它的单调递减区间是_.【解析】由k-x-k+(kZ),得2k-x2k+,kZ,所以函数y=的单调递减区间是 答案:1tan(x)24，11ytan(xtan(x).2424)212422321tan(x)243(2k2k)kZ.22 ，（）3(2k2k)kZ.22 ，（）5.已知函数f(x)=x+tan x+1,若f(a)=2,则f(-a)=_.【解析】设g(x)=x+tan x,显然g(x)为奇函数.因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,所以 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.答案:0
