1、一、选择题：(共50分)1.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于 ( )A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应的点，在第一象限，选A.考点：复数的运算，复数的几何意义.2.集合A=0,2，a,B=a2,若AB=A，则a的值有 ( )A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C考点：集合的概念，集合的运算与子集的概念.3.的展开式中x6y2项的系数是 ( )A.28 B. 84 C. -28 D. -84【答案】B考点：二项式定理.4.已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“/”是“m/”的 ( )A.充分不必要
2、条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不充要条件【答案】A【解析】试题分析：由面面平行的性质定理知，但当时，与也可能相交，故应选A.考点：面面平行与线面平行，充分必要条件.5.圆x2+y2=4被直线截得的弦长为 ( )A. B. C.3 D.2【答案】D【解析】试题分析：圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.考点：直线和圆相交弦长问题.6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：该几何体是一个组合体，下面是半球，上面是正四棱锥，且正四棱锥的底面是半球大圆的内接正方形，.考点：三视图与几何体的体积.7
3、.在等差数列an中a1=-2015，其前n项和为Sn，若2S6-3S4=24，则S2015= ( )A.-2014 B. 2014 C. 2015 D.-2015【答案】D【解析】试题分析：，.考点：等差数列的前和.8.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2015）的值为( )A.-1 B. 0 C. 1 D.2【答案】C【解析】试题分析：，所以，则.考点：分段函数，函数的周期性.9.F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1BF1，ABF1=30，则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，由已知，又，故，所以, 在
4、中，所以，选A.考点：椭圆的几何性质.10.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：首先由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字能组成个不同的六位数，其中有相同数字相邻的数有，因此所求概率为，选C.考点：古典概型.二、填空题（25分）11.已知实数x、y满足，则z=x-3y的最大值为 【答案】1【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当经过点时取得最大值.考点：简单的线性规划问题.12.在
5、极坐标系中，已知点P（2，），Q为曲线=cos上任意一点，则|PQ|的最小值为 【答案】【解析】试题分析：点的直角坐标为，曲线的直角坐标方程为，它是圆，其圆心为，半径为，因此的最小值为.考点：极坐标与直角坐标的互化，与圆有关的最值问题.13.已知a=,b=,c=,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 【答案】【解析】试题分析：从程序框图可看出，本程序最后输出的是三个数中的最小值，由是增函数知，又，所以，即，故最小，输出结果为.考点：程序框图，比较大小.14.已知O为ABC的外心，AB=2， AC=4，cosBAC=.若，则x+y= 【答案】【解析】试题分析：以为原点，为轴，使点在第一象限建立
6、直角坐标系，则，又，由于点横坐标为2，因此其纵坐标为，由，得，解得，所以.考点：余弦定理，正弦定理，向量的坐标运算.15.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，下列结论正确序号有 若O为重心，则;若I为内心，则若O为外心，则若H为垂心，则若O为外心，H为垂心，则【答案】【解析】试题分析：当是重心时，因此，同理，故不正确；分别是方向上的单位向量，则平分，设，则，另一方面可设，由此得，解得，即，同理，所以，即，正确；如果是等腰直角三角形，则，错误；是的垂心，则，即，故，同理，正确；设是的重心，则，正确，故填.考点：三角形的四心与向量.三、解答题16.（12分）已知向量a=(cosx,2
7、cosx),b=(cosx,-cosx),函数f(x)=ab（I）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（II）在ABC中，若A满足，且ABC的面积为8，求ABC周长的最小值。【答案】（I）周期为，单调递增区间为；（II）.【解析】试题分析：（I）根据数量积的定义求出，再由三角恒等变换把它为一个三角形，本题结果为，由正弦函数的性质我们可得出函数的最小正周期和单词递增区间，这是这类三角题的常规解法；（II）由（I）及可得，再者是三角形的内角，因此有，于是，即，分别应用基本不等式有，且两个不等式都是在时取得等号，因此的最小值为.试题解析：() 函数的最小正周期为.3分 由得，函数的单调递增区间
8、为6分()由得，即，因为A为三角形的内角，所以.8分 ,10分 , 所以周长的最小值为.12分考点：数量积的坐标运算，三角函数的周期与单调性；基本不等式.17.（12分）已知函数f(x)=xex,g(x)=x2-x-a,aR。（I）求函数f(x)的单调区间；（II）若f(x)+g(x)0对任意xR恒成立，求a的取值范围.【答案】（I）递减区间为（，递增区间为（，）；（II）（，0.【解析】试题分析：（I）这类问题是求出函数的导函数，然后通过解不等式得出单调递增区间，解不等式得出单调递减区间；（II）恒成立，即恒成立，也即恒成立，从而，因此下面我们只要求出的最小值，那么就有，而的最小值显然是要通
9、过来求得.试题解析：(),令得x=3分 当x时，所以函数的递减区间为（，递增区间为（，）6分()恒成立等价于令，则8分显然当x0时，；当x0时；当x0时. 所以在（，0）上递减,在（0，）上递增.10分 , 的取值范围是（，0.12分考点：()函数的单调性；()不等式恒成立问题，函数的最值.18.（12分）一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如下右图（I）求证：AE/BF;（II）过A、D、F三点作截面，将此多面体 上下两部分，求上下两部分的体积比。【答案】（I）证明见解析；（II）:.【解析】试题分析：（I）本题要证明，
10、因为是两个几何体组合而成的新的几何体，因此我们要证明平面与平面在同一平面内，即证二面角和二面角互补，为此取中点，连接相应线段，则有，即和是相应二面角的平面角，由余弦定理可得，即，因此共面，下面易得；（II）由已知，平面把几何体分为一个三棱锥和一个四棱锥，由棱锥体积公式知，由此所求体积比为.试题解析：()由题意知，ABE、CBE和BEF都是正三角形，取BE的中点O，连AO、FO、CO、AC,则BEAO，BEFO，BECO，AOC、FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，3分设AB2,则AOFOCO,AC=,在AOC中，在FOC中，AOC+FOC,即二面角A-BE-C与二面角F
11、-BE-C互补，5分所以ABFE四点共面，又AB=BF=FE=EA，故AEBF.6分()由()知，四边形ABFE四边形CDEF都是菱形，所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD，连BD、FD则所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为:.12分考点：二面角，线线平行，棱锥的体积.19.（13分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜。（1）若高三获得冠军概率为，求P。（2）记高三
12、的得分为X，求X的分布列和期望。【答案】（1）；（2）所以X的分布列为 【解析】试题分析：（1）从题意可知高三获胜分为两种情况，一种为高三胜两两场，一种是三个年级各胜一场，高三胜两场概率为，三个年级各胜一场概率为，两者相加和为，可解得；（2）因为每个队比赛两场，因此得分可能为，计算得P(X=0)=， P(X=1)=，P(X=)=，由此得的分布列.试题解析：()高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场. 高三胜两场的概率为，2分三个队各胜一场的概率为4分所以+解得.6分()高三的得分X的所有可能取值有、 P(X=0)= P(X=1)= P(X=)=9分所以X的分布列为 11分故X的期望
13、12分考点：（1）相互独立事件的概率；（2）随机变量的分布列和数学期望.20.（13分）已知椭圆C：，点P到两定点A(-1，0).B(1，0)的距离之比为，点B到直线PA的距离为1。（1）求直线PB的方程；（2）求证：直线PB与椭圆C相切；（3）F1、F2分别为椭圆C的左右焦点，直线PB与椭圆C相切于点M，直线MF2交y轴于点N，求MF1N【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）求直线的距离，只要求得直线斜率即可，由于已知，点到直线的距离为1，可作于，vcb ，因此有，这样在中由正弦定理可得，于是直线的倾斜角为或，斜率即得；（2）把直线的方程与椭圆方程联立方程组，只要
14、方程组只有一解，就可得直线与椭圆相切；（3）要求，我们可以先求出和，为此设切点坐标，由（1）知，再设，其中，又设，则， ，这说明,即.试题解析：（1）过B作PA的垂线，垂足为C，AB，BC知，BAC=分 在PAB中，由正弦定理得，分,即直线PB的倾斜角为或，分所以直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1.分（2）若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得， 整理得，解得，分 所以直线y=x1与椭圆C相切，同理直线y=x+1与椭圆C也相切.分 （3）)设切点坐标，由（1）知，设，其中，又设，则，10分 12分,故13分考点：直线方程，直线与椭圆的位置关系，两直线夹角.21.（13分）已知
15、数列an前n项和为Sn，满足2Sn+ n2 = 3an-6,(nN*)（1）求数列an的通项公式；（2）求证：，(n2，nN*)（3）设 ,(n2，nN*),求证：【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）这是已知数列的前项和与项的关系求通项公式问题，解决问题的一般方法是先求出初始值，然后把已知中的用代换得，两式相减可得数列的递推关系式，把这个式子变形为，从而构造出新数列是等比数列，从而求得；（2）本题关键求和，由（1），对我们进行放缩，以便求和，当时，从而有，因此有，放缩后，和式可求，不等式得证；（3）同样由（1）可得，考虑到，对照比较，我们想能否证明，即证，也即，于是我们证明不等式，这个不等式可利用函数的单调性加以证明，实际上有考查这种转化思想的意图.试题解析：(1)由得,当n=1时，=7，分当时，, 得，()，().3分 又+2=9，所以数列是首项为9公比为3的等比数列. ，4分(2)由(1)可知5分易知时，()7分考点：（1）已知前项和与的关系，求通项；（2）放缩法证明不等式；（3）构造法证明不等式.
