1、专题10系列4选讲第1讲坐标系与参数方程1. (2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解析：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共
2、点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2(2018高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的
3、轨迹的参数方程解析：(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.3(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极
4、点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.1.已知椭圆C：(为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OAOB(O为坐标原点)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
5、标系，点D的极坐标为(4，)(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；(2)利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求AOB面积的最大值解析：(1)点D的直角坐标为(2,2)由题意可设点A的坐标为(2cos ，sin )，则AD的中点M的坐标为(1cos ，sin )，所以点M的轨迹E的参数方程为(为参数)，消去可得E的普通方程为(x1)24(y)21.(2)证明：椭圆C的普通方程为y21，化为极坐标方程得232sin24，变形得 .由OAOB，不妨设A(1，)，B(2，)，所以(定值)所以AOB的面积S12 .易知当sin 20时，AOB的面积取得最大值1.2已知直线l的参数方程为(t为参数)
6、，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin()(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面4sin()的公共点，求xy的取值范围解析：(1)因为圆C的极坐标方程为4sin()，所以24sin()4(sin cos )又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，故圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)设zxy.由圆C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2.将代入zxy，得zt，又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以|t|2，解得2t2，所以2t2，即2z2.故xy的取值范围是2,2
